Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar

Kantor teoremasi.
(X,) metrik fazoda uning biror M qism to’plami va f funkstional berilgan bo’lsin.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 topilsaki, (x₁,x₂)< shartni qanoatlantiruvchi har qanday x₁,x₂M uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda f funkstional M to’plamda tekis uzluksiz deyiladi.
M to’plamda tekis uzluksiz funkstionalning shu to’plamda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas.
Haqiqatan, aytaylik x₀ nuqta M to’plamga tegishli bo’lsin. Hadlari M to’plamga tegishli bo’lib, x₀ nuqtaga yaqinlashuvchi biror {x_n} ketma-ketlikni tuzib olamiz. U holda, ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 topiladiki, etarlicha katta n larda (x_n,x₀)< tengsizlikning bajarilishidan |f(x_n)–f(x₀)|< tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, x₀ nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {x_n} ketma-ketlik uchun {f(x_n)} sonli ketma-ketlik f(x₀) ga yaqinlashadi. Bu esa f funkstionalning x₀ nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko’ra x₀ nuqta M to’plamning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, f funkstional M to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Quyidagi teorema funkstional tekis uzluksizligining etarli shartini ifodalaydi.
3-teorema (Kantor). Agar X metrik fazodagi f funkstional M kompakt to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda f funkstional shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi.
Isboti. f funkstional M to’plamda uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo’lmasin deb faraz qilamiz. U holda,  musbat son uchun, M to’plamning (x₁,x₁’)<1, |f(x₁)–f(x₁’)| shartlarni qanoatlantiruvchi x₁ va x₁’ nuqtalarini tanlab olish mumkin. Shunga o’xshash M to’plamning (x₂,x₂’)<¹/₂, |f(x₂)–f(x₂’)| shartlarni qanoatlantiruvchi M to’plamning x₂ va x₂’ nuqtalar juftini tanlaymiz. Shu kabi, (x_n,x_n’)<¹/_n, |f(x_n)–f(x_n’)| shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar juftini tanlash cheksiz davom ettirilib, {x_n} va {x_n’} nuqtalar ketma-ketligiga ega bo’lamiz. Kompakt M to’plamning nuqtalaridan tuzilgan {x_n} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi { } qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Bu qism ketma-ketlikning limiti x₀M bo’lsin. Ikkinchi ketma-ketlikning shu nomerlarga mos hadlaridan tuzilgan { ’} qism ketma-ketlik ham x₀ nuqtaga yaqinlashadi. Endi
| f(x_n)–f(x_n’)| | f(x_n)–f(x₀)|+ | f(x₀)–f(x_n’)|
bo’lganligi sababli o’ng tomondagi qo’shiluvchilarning kamida biri n ga boQliq bo’lmagan holda /2 dan kichik bo’la olmaydi. Bu esa funkstionalning uzluksizligiga zid. Teorema isbot bo’ldi.