Funksional analiz

R2 fazoni R2 fazoga akslantiruvchi F: (x,y)^(u,v) operator ushbu formula bilan aniqlangan:

u = ax + ay,
v = - bx - by
Bu operatorning chiziqli operator ekanligini ko‘rsating, normasini toping.

28. 
    R2 fazoni R2 fazoga akslantiruvchi F: (x,y,z)^(u,v) operator ushbu formula bilan aniqlangan:
    

u = a1 x + b1 y + c1 z, v = a,x + by + cz 222
Bu operator chiziqli operator bo‘ladimi?

29. 
    C[a,b] (a>0) fazoni o‘ziga akslantiruvchi F(y)=xy(x) operator berilgan. Uning chiziqli operator ekanligini isbotlang, normasini toping.
    
30. 
    C[1,2] fazoni o‘ziga akslantiruvchi
    

F(y)=x²y(1)
operator berilgan. Uning chiziqli operator ekanligini isbotlang, normasini toping.

31. 
    C[0,1] fazoni o‘ziga akslantiruvchi
    

1
F ( У) = J ty (t) dt
0
operator berilgan. Uning chiziqli operator ekanligini isbotlang, normasini toping.

32. 
    12 fazoning x=(x 1, x2, x3, ...) nuqtasini shu fazoning x’=(x2, x3, ...) nuqtasiga akslantiruvchi operatorning chiziqli ekanligini isbotlang. Uning normasini toping.
    

www.ziyouz.com kutubxonasi
IV BOB. FUNKSIONAL ANALIZNING
VARIATSION HISOBDAGI TATBIQI
Variatsion hisobning metodlari birinchi bo‘lib I.Bernulli tomonidan 1696 yilda quyidagi masalani yechishda shakllantirilgan edi:
“Aytaylik M moddiy nuqta tekislikka tegishli va bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan A va B nuqtalarni tutashtiruvchi, egri chiziq bo‘ylab og‘irlik kuchi ta’sirida harakatlanayotgan bo‘lsin. Egri chiziq qanday bo‘lganda moddiy nuqta bir nuqtadan ikkinchi nuqtagacha bo‘lgan yo‘lni eng kam vaqtda bosib o‘tadi?”
Izlanayotgan egri chiziqni I.Bernulli braxistoxron deb nomlagan. Kirish qismida bu masala haqida gapirgan edik. Ushbu bobda shu masala va unga o‘xshash boshqa maslalarni qanday yechish mumkinligini ko‘rsatamiz.
Braxistoxron haqidagi masala tekislikdagi A va B nuqtalarni tutashtiruvchi uzluksiz egri chiziqlar to‘plamida aniqlangan funksionalning minimumini topish masalasidan iborat.
Variatsion hisob funksionallarning ekstremumlarini topishning umumiy metodlarini o‘rganadi. So‘ngi paytlarda variatsion hisob cheksiz o‘lchamli fazolarda differensial hisob deb ham yuritilmoqda. Biz bu bobda funksional analizning variatsion hisobdagi tatbiqini o‘rganishda tez-tez uchrab turadigan funksionalning ekstremumini topish bilan bog‘liq bo‘lgan masalalarni qaraymiz.
1-§. Differensial, funksionalning variatsiyasi
Faraz qilaylik, E chiziqli normalangan fazoda F funksional aniqlangan va x0 e E bo’lsin.
Agar x₀ nuqtaning O_s(x₀)={xeE, ||x-x₀||<J} atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun