Funksional qator tushunchasi

Darajali qatorning asosiy xossasi: agar darajali qator da yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu qator tengsizlikni qanoatlatiruvchi ning barcha qiymatalarida yaqinlashuvchi (shu bilan birga absolyut yaqinlashuvchi) bo‘ladi (Abel teoremasi).
Abel teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi: har qanday darajali qator uchun markazi nuqtada bo‘lgan shunday interval (yaqinlashish intervali) mavjud bo‘ladiki, bu intervalning ichida darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashish intervalining chetki nuqtalarida ( nuqtalarda ) darajali qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.
Yaqinlashish intervali uzunligining yarmiga teng bo‘lgan soniga darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Xususiy holda, qatorning yaqinlashish radiusi nolga yoki cheksizga teng bo‘lishi mumkin. Agar bo‘lsa, u holda darajali qator faqat da yaqinlashuvchi bo‘ladi; agar bo‘lsa, u holda qator sonlar o‘qining barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Darajali qator yaqinlashish intervali va radiusini topish uchun quyidagicha usullardan foydalanish mumkin:

1. 
   Agar koeffitsientlar ichida nolga teng bo‘lganlari bo‘lmasa (yoki faqat cheklilarigina nol bo‘lsa) u holda
   

yoki

formulalar o’rinli bo‘ladi, agar yuqoridagi limitlar mavjud bo‘lsa (chekli va cheksiz).

2. 
   Agar koeffitsientlardan tashkil topgan cheksiz to‘plam nolga teng bo‘lsa (xususan, qator ning faqat juft yoki toq darajalaridan tashkil topgan bo‘lsa), u holda yuqoridagi formulalardan foydalanish mumkin emas. Bu holda yaqinlashish intervalini topish uchun funksional qatorlarni yaqinlashish sohasini topganimiz kabi bevosita Dalamber yoki Koshi formulalaridan foydalanish mumkin.
   

Teylor qatori.
funksiya nuqtaning biror atrofida cheksiz differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar bu funksiyani shu atrofda ning darajalari bo‘yicha darajali qatorga yoyishmumkin bo‘lsa, u holda bu qator (Teylor qatori) quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(18.1)
Teylor qatorining qoldiq hadi bo‘lsin.
(18.1) tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Qoldiq hadni baholash uchun quyidagi formuladan foydalanish mumkin:
. (18.2)
da Makloren qatorini hosil qilamiz:

Darajali qatorga yoyishda qo’llaniladigan usullar.
Ba’zi funksiyalarning darajali qatorga yoyilmalarini keltiramiz.
I.
II.
III.
IV.
bu yoyilma quyidagi hollarda o’rinli bo’ladi: da, ; da, ; da, .
V.
Ko’p hollarda yuqoridagi yoyilmalardan, hamda geometric progressiya yig’indisi formulasidan foydalanib berilgan funksiyani osongina darajali qatorga yoyish mumkin, bunda qatorning qoldiq hadini tekshirish zarurati yo’qoladi. Ba’zida darajali qatorlarni hadma-had differensiallash va integrallash qoidalaridan foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi. Rasional funksiyalarni darajali qatorlarga yoyishda ularni eng sodda rasional kasrlarga yoyish tavsiya etiladi.