Funksional qator tushunchasi

Abel teoremasi


1-teorema (Abel teoremasi). Agar (1) darajali qator da yaqinlashuvchi bo‘lsa, ushbu
(3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, da (1) qator yaqinlashuvchi, ya’ni

sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Qator yaqinlashshining zaruriy shartiga ko‘ra

Bundan esa
(4)
kelib chiqadi.
Endi (3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ni olib ushbu
(5)
qatorni qaraymiz. Ravshanki,

Endi (4) munosabatidan foydalansak, hamda

( chunki ) desak, u holda
(6)
kelib chiqadi.
Ma’lumki,

geometrik qator yaqinlashuvchi. Yaqinlashuvchi qator xossasiga ko‘ra

qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. U holda (6) munosabat hamda solishtirish alomatidan foydalanib, (5) qatorning yaqinlashuvchiligini topamiz. Demak,(1) qator da absolyut yaqinlashuvchi.
Abel teoremasining sharti bajarilganda (1) qatorning yaqinlashishi nuqtalari to‘plami, holda 1a) chizmada tasvirlangan:

1a) chizma

(1) qatorning yaqinlashishi nuqtalari to‘plami holda 1b) chizmada tasvirlangan:

1b) chizma

Natija. Agar (1) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi , ya’ni

sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator uzoqashuvchi bo‘ladi.
Teskarisini faraz qilaylik, qaralayotgan qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda Abel teoremasiga ko‘ra tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda, jumladan nuqtada ham yaqinlashuvchi bo‘lib qoladi. Bu esa shartga zid. Demak, (1) darajali qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda uzoqlashuvchi.
Natijada keltirilgan darajali qatorning uzoqlashishi nuqtalari to‘plami 2-chizmada tasvirlangan:

2-chizma