Funksional qator tushunchasi

1-teorema (Koshi teoremasi) Agar ixtiyoriy son olinganda ham shu ga ko‘ra shunday natural son topilib, barcha lar uchun ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda (1) funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremadan foydalanib, amaliyotda ko‘p tadbiq etiladigan Veyershtrass alomatini keltiramiz.

2-teorema. Agar (1) funksional qatorning har bir hadi to‘plamda quyidagi
(6)
tengsizlikni qanoatlantirsa va
(7)
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (1) funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shartga ko‘ra (7) sonli qator yaqinlashuvchi. U holda ixtiyoriy olinganda ham shunday natural son topiladiki, barcha va ixtiyoriy uchun

Endi (6) tengsizlikdan foydalanib topamiz:


Oxirgi ikki tengsizliklardan

bo‘lishi kelib chiqadi. U holda 1-teoremaga ko‘ra funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Misol. Ushbu

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchi ekanini ko‘rsatilsin.
Ravshanki, berilgan qatorning umumiy hadi uchun

bo‘ladi. Ayni paytda

sonli qator (umumlashgan garmonik qator, ) yaqinlashuvchi.
Demak, Veyershtrass alomatiga ko‘ra berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.


Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi

Aytaylik, (1) funksional qator to‘plamda yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi bo‘lsin.

Agar (1) qatorning har bir ( ) hadi to‘plamda uzluksiz bo‘lib, bu funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qator yig‘indisi funksiya to‘plamda uzluksizdir.
Aytaylik, nuqta to‘plamga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy nuqta bo‘lsin.
Shartga ko‘ra funksional qator da tekis yaqinlashuvchi. Unda ta’rifga binoan, ixtiyoriy son olinganda ham shunday natural topiladiki, barcha va ixtiyoriy uchun
(8)
jumladan
(9)
Funksional qatorning har bir hadi  to‘plamda uzluksiz bo‘lganligi sababli

funksiya ham da uzluksiz. Uzluksizlik ta’rifiga binoan yuqoridagi ga ko‘ra shunday topiladiki, da
(10)
bo‘ladi.
Ravshavki,

(8),(9) va (10) munosabatlaridan foydalanib topamiz:

Bu esa qator yig‘indisi funksyaning nuqtada, demak, to‘plamda uzluksizligini bildiradi. 
Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning keyingi xossalarini isbotsiz keltiramiz.