«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari:
1
0
. Agar yuqoridagi funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.
2
0
. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni
 



1
21)(...)(...)()(
n
b
a
b
a
n
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf (13)
qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa \

b
a
dxxS)( (14)
gat eng bo`ladi
3
0
. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz )(1xfn hosilaga
ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan )(1
1
xfn
n



funksional qator [a,b]da tekis
yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S
1
(x) hosilaga ega va
S
1
(x)= )(1
1
xfn
n



(15)
bo`ladi.
Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar.
3-§. Darajali qatorlar
1. Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Biz avvalgi paragraflarda funksional qatorlarni o‟rgandik. Funksional qatorlar orasida, ularning hususiy holi bo‟lgan ushbu
...
0
2

210






n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
yoki, umumiyroq,
... )(... )()( 0
0
0100


n
n
n
n
nxxaxxaaxxa (17)
Qatorlar ( bunda 0210,... ,... ,, xaaaan - o‟zgarmas haqiqiy sonlar) matematikada va uning tadbiqlarida muhim ro‟l o‟ynaydi.
        ... 2
1
1


xaxaxaxan
n
n ifodada qatnashgan )(xan sifatida

n

nnxaxa)( (yoki ))()( 0
n
nnxxaxa ya‟ni x ( yoki 0x-x )o‟zgaruvchining darajalari qaralyapti. Shu sababli (16) va (17) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi.
Agar (17) qatorda tx-x 0 deb olinsa, u holda bu qator t o‟zgaruvchiga nisbatan (16) qator ko‟rinishiga keladi. Demak, (16) qatorlarni o‟rganish kifoyadir. ifodadagi ,... ,... ,, 210naaaa haqiqiy sonlar (16) darajali qatorning koeffisentlari deb ataladi.
Darajali qatorning tuzilishidan, darajali qatorlar bir-biridan faqat koeffisentlari bilangina farq qilishini ko‟ramiz. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koeffisentlari berilgan deganini tushinamiz.
Misollar. Ushbu
1. )1!0... (
!

...

!2!1
1

!
2
0





n

xxx

n
xn
n
n
2. ... 1
2
0



n
n
nxxxx
qatorlar darajali qatorlardir.
Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi ),(  da berilgan
funksiyadir. Binobarin, darajali qatorni formal nuqtai nazardan, ),(  da qarash mumkin. Ammo tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo‟ladi deb olmaymiz.
Albatta, ixtiyoriy darajli qator 0x  nuqtada yaqinlashuvchi bo‟ladi. Bu ravshan. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi albatta 0x  nuqtani o‟z ichiga oladi.
Darajali qatorning yaqinlashish soxasi (to‟plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel, teoremasiga asoslanadi.