«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

6-teorema. agar
...
0
2
210


n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
darajali qator x ning bazi  0x qiymatlarida yaqinlashuvchi, bazi qiymatlaridauzoqlashuvchi bo‟lsa, u holda 0r bunday yagona haqiqiy son topiladiki (16) darajali qator x ning rx tengsizlikni qanoatlantiruvchi
qiymatlarida absalyut yaqinlashuvchi rx tengsizlikni qanoatlantiruvchi
qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bo‟ladi.
Isbot. Berilgan (16) darajali qator 00 xxda yaqinlashuvchi 1xx da esa
uzoqlashuvchi bo‟lsin. Ravshanki, 10xx bo‟ladi. Unda 1-teorema hamda 1-
natijaga muvofiq (16) darajali qator x ning 0xx  tengsizlikni qanoatlantiruvchi
qiymatlarida absalyut yaqinlashuvchi x ning 1xx  tengsizlikni
qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bo‟ladi. Jumladan (16) darajali qator  0xaa nuqtada yaqinlashuvchi  1xbb nuqtada esa uzoqlashuvchi
bo‟ladi. (1-chizma). Demak, (16) qator  ba, segmenitning chap chekkasida yaqinlashuvchi, o‟ng chekkasida esa uzoqlashuvchi.
 ba, segmentning o‟rtasi
2
ba
nuqtani olib, bu nuqtada (16) qatorni qaraylik. Agar
(16) qatoq
2
ba
nuqtada yaqinlashuvchi bo‟lsa, unda 




 
b
ba
,
2
segmenitni,
2
ba
nuqtada uzoqlashuvchi bo‟lsa, 








 
2

,

ba
a segmenitni olib, uni  11,ba orqali
belgilaylik. Demak, (1) qator 1a nuqtada yaqinlashuvchi 1b nuqtada esa uzoqlashuvchi
. b a 0 a 0x r 1x b
1-chizma
bo‟lib,  11,ba sistemaning uzinligi
2
ab

 ga tengdir. So‟ng  11,ba sistemaning o‟rtasi
2
11ba nuqtaga yaqinlashuvchi bo‟lsa, unda 




 
1
11,
2
b
ba
segmentni, uzoqlashuvchi bo‟lsa, 








 
2

, 111
ba
a segmentni olib, uni 22,ba orqali
belgilaymiz. Demak (1) qator 2a nuqtada yaqinlashuvchi, 2b nuqtada esa
uzoqlashuvchi bo‟lib, 22,ba segmenitning uzunlogi 2222
ab
ab

 ga tengdir. Shu
larayonni davom ettiramiz. Natija ichma-ich joylashgan
     ,...,...,,,, 2211nnbababa ,
segmentlar ketma-ketligi hosil bo‟ladi. Bu segmentlarining har birining chap chekkasida ( na-nuqtada) uzoqlashuvchi, n da segmentlar uzunligi nolga intila
boradi 







 0
2
1
nnn
ab
ab.
Unda ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipiga ko‟ra shunday r soni topiladiki,
rban
xn

n


xn






limlim

bolib, bu r nuqta barcha segmentlarga tegishli bo‟ladi.

Endi x o‟zgaruvchining rx tengsizligini qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
qiymatini qaraylik. ran
xn


lim bo‟lgani sababli, shunday natural 0n soni topiladiki,
raxn 0 bo‟ladi. 0na nuqtada (16) qator yaqinlashuvchi. Demak, 1-teoremaga
ko‟ra x nuqtada ham (16) darajali qator yaqinlashuvchi bo‟ladi.
x o‟zgaruvchining rx tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatini
qaraylik, rbn
xn


lim bo‟lganligi sababli shunday natural 1n soni topiladiki,
rbxn 1 bo‟ladi. 1nb nuqtada (16) qator yaqinlashuvchi. Unda 1-natijaga ko‟ra x
da (16) qator uzoqlashuvchi bo‟ladi.
Shunday qilib shunday r soni topiladiki (16) darajali qator x ning rx
tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absalyut yaqinlashuvchi, rx
tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bo‟ladi. Teorema isbotlandi.