Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Differensiallanuvchi funksiya va uning uzluksizligi. Dastlab differensiallanuvchi funksiya tushunchasini kiritamiz.

3-TA’RIF: Agar y=f(x) funksiya x nuqtada chekli f ′(x) hosilaga ega bo‘lsa, u shu nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Aks holda y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanmovchi deb ataladi. Funksiyani f ′(x) hosilasini topish amali differensiallash amali deb ataladi.
Funksiyaning differensiallanuvchiligi va uzluksizligi orasidagi bog‘lanish quyidagi teorema orqali ifodalanadi.
TEOREMA: Agarda y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isbot: Teoremani isbotlash uchun, funksiyaning uzluksizligi ta’rifiga asosan,
(6)
shart bajarilishini ko‘rsatish kifoya. Hosila ta’rifini ifodalovchi (4) tenglik va limitni mavjudligi haqidagi oldin ko‘rib o‘tilgan lemmaga (VII bob, §3) asosan

tenglikni yozish mumkin. Bu yerda x0 bo‘lganda (x) cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Bu holda, limit hisoblash qoidalariga asosan,

Demak, (6) shart o‘rinli va shu sababli f(x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Izoh: Teoremadagi tasdiqning teskarisi umuman olganda o‘rinli emas. Masalan, f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada uzluksiz, ammo bu nuqtada differensiallanuvchi emas. Haqiqatan ham, x=0 nuqtada argumentga x orttirma berganimizda funksiya orttirmasi uchun f=f(0+x)–f(0)= f(x)= |x| tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan ko‘rinadiki
,
ya’ni f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada uzluksiz. Ammo

Bu yerdan ko‘rinadiki x0 bo‘lganda f/x nisbat limitga ega emas va shu sababli x=0 nuqtada f ′(0) hosila mavjud emas.
4-TA’RIF: Berilgan y=f(x) funksiya (a,b) oraliqning har bir x nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, u shu oraliqda differensiallanuvchi deb ataladi.
Masalan, y=x² funksiya har qanday (a,b) oraliqda differensiallanuvchi. y= funksiya esa x=0 nuqtani o‘z ichiga olmaydigan barcha oraliqlarda differensiallanuvchi, ammo x=0 nuqtani o‘z ichiga oluvchi oraliqlarda differensiallanuvchi bo‘lmaydi

4.