Funksiya va uning berilish usullari, asosiy elementar funksiyalar, funktsiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi

Funksiya va uning berilish usullari, asosiy elementar funksiyalar, funktsiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi.
Matematikada ko’pincha o’zaro bir-biriga bog’liq ravishda o’zgaradigan miqdorlar bilan ish ko’riladi. Yuqoridagi misollarimizda doiraning yuzi uning radiusining o’zgarishiga qarab o’zgaradi, ya’ni doiraning radiusi ortsa, yuzi ham ortadi, kamaysa kamayadi. Xuddi shuningdek, kvadratning tomoni bilan yuzi orasida ham shunday bog’lanish bor. Kvadratning yuzi uning tomoniga bog’liq ravishda o’zgaradi.
Ta’rif : Agar x miqdorning X sohadagi har bir qiymatiga biror f qonuniyatga ko’ra y miqdorning Y-sohadan aniq bir qiymati mos keltirilsa, y miqdor x miqdorning X-sohadagi funksiyasi deyiladi va y=f(x) kabi yoziladi.
Bu holda x - argument yoki erkli o’zgaruvchi, y - esa funksiya yoki erksiz o’zgaruvchi deyiladi. Agar y x ning funksiyasi bo’lsa, u holda x va y lar orasidagi bog’lanish funksiyali bog’lanish deyiladi va quyidagicha yoziladi: y=f(x), y=q(x), y=(x) va hokazo. Agar yuqoridagi misollarga e’tibor bersak, doiraning yuzi radiusning funksiyasi, kvadratning yuzi tomonining funksiyasi ekan.
Argument qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari to’plami funksiyaning aniqlanish sohasi, funksiyaning o’zi qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari to’plami funksiyaning o’zgarish sohasi yoki qiymatlari to’plami deyiladi.
Funksiyaning berilish usullari. Funksiya sharoitiga qarab jadval, analitik va grafik usullar bilan berilishi mumkin.
Funksiya jadval usulida berilganda, argumentning ma’lum tartibdagi x₁, x₂, x₃,… x_n,… qiymatlari va funksiyaning ularga mos keluvchi y₁, y₂, y₃, … ,y_n, … qiymatlari jadval holida beriladi:

X	x1	x2	x3	…	xn	…
Y	y1	y2	y3	…	yn	…

Funksiyalarning jadval usulida berilishiga misol qilib kvadratlar, kublar, kvadrat ildizlar jadvallarni ko’rsatish mumkin. Bu usuldan ko’pincha miqdorlar orasida tajribalar o’tkazishda foydalaniladi.
Tekislikda sanoq boshlari ustma-ust tushadigan va o’zaro perpendikulyar bo’lgan OX va OY sonlar o’qini chizamiz. Gorizontal holda tasvirlangan sonlar o’qi ordinatalar o’qi, ularning kesishgan nuqtasi koordinatalar boshi deyiladi. Hammasi birgalikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi.
To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida nuqtaning vaziyati quyidagicha aniqlanadi. Faraz qilamiz, to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi olingan tekislikda ixtiyoriy M nuqta berilgan bo’lsin. Shu nuqtadan koordinata o’qlariga perpendikulyarlarning absissalar o’qidagi proeksiyasiga mos keluvchi son uning absissasi, koordinatalar o’qidagi proeksiyasiga mos keluvchi son esa uning ordinatasi deyiladi va M(x,y) tartibida yoziladi.

Demak, to’g’ri burchakli koordinatalar tekisligida har qanday bir juft ma’lum tartibda berilgan son bilan aniqlanar ekan. Xuddi shuningdek, har qanday bir juft songa koordinatalar tekisligida bitta nuqta mos keladi.
Funksiyaning grafik usulda berilishi. y=f(x) funksiyaning grafigi deb koordinatalari y=f(x) ni to’g’ri tenglikka aylantiruvchi tekislikdagi barcha nuqtalar to’plamiga aytiladi. Agar funksiyaning grafigi tasvirlangan bo’lsa, funksiya grafik usulda berildi deyiladi.
Funksiyaning analitik usulda berilishi. Formula yordamida berilgan funksiyalarga analitik usulda berilgan deyiladi. Masalan, y=x², y=kx+b, y=a^x, y=lgx, y=sinx, y=tgx, y=2x³-x+4 funksiyalar analitik usulda berilgan. Agar analitik usulda berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi to’g’risida alohida shart qo’yilmagan bo’lsa, u holda y=f(x) da o’ng tomonda turuvchi ifoda ma’noga ega bo’ladigan x ning qiymatlari olinadi. Masalan, agar y=x² ni kvadratning tomoni bilan yuzi ifodalovchi bog’lanish sifatida olsak, u holda aniqlanish sohasi barcha musbat sonlardan iborat bo’ladi.
Funksiyaning aniqlanish sohasini topishga doir misollar ko’raylik. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:
1. . echimi. Ma’lumki, kasr ma’noga ega bo’lishi uchun uning maxraji noldan farqli bo’lishi kerak. Demak, x0 yoki x
2. . Yechimi. Xuddi yuqoridagidek muhokama yuritsak, 2x-10 yoki 2x1, . Demak, aniqlanish sohasi dan iborat.
3. echimi. Kvadrat ildiz ma’noga ega bo’lishi uchun ildiz ostidagi ifoda manfiy bo’lmasligi kerak, ya’ni x, bunda . Demak, aniqlanish sohasi dan iborat.
4. Yechimi. Agar yuqoridagidek muhokama yuritsak, u holda 4x-5>0 bo’ladi. Bundan . Demak, aniqlanish sohasi dan iborat.
5. echimi. Logarifmik funksiya faqat musbat sonlar uchun aniqlangan. Demak, (2x-1)>0 bo’lishi kerak. Bundan . Demak, aniqlanish sohasi dan iborat.
6. . echimi. Agar yuqoridagidek muhokama yuritsak,2x-1>0, 2x-11 bo’ladi. Bundan , x1 kelib chiqadi. Demak, aniqlanish sohasi dan iborat.
1. y=f(x) funksiyaning o’zgarish sohasidagi har qanday qiymati uchun shunday o’zgarmas chekli B sonni ko’rsatish mumkin bo’lib, f(x)B bo’lsa, f(x) yuqoridan chegaralangan funksiya deyiladi.
2. y=f(x) funksiyaning o’zgarish sohasidagi har qanday qiymati uchun shunday o’zgarmas chekli A sonni ko’rsatish mumkin bo’lib, f(x)A bo’lsa, f(x) quyidan chegaralangan deyiladi.