Ko‘p o‘zgаruvchili funksiyalar. Karrali va takroriy limitlar nima

1. 
   Ko‘p o‘zgаruvchili funksiyalar. Karrali va takroriy limitlar nima
   

Agar bir-biriga bog`li q bo`lmagan ikki o`zgaruvchi x va y ning biror D o`zgarish sohasidagi har bir qo`sh (x,y)qiymatiga Z miqdorning aniq bir qiymati mos kelsa , Z ikki erkli o`zgaruvchi x va y ning D sohada aniqlangan funksiyasi deyiladi va Z=ѓ(x:y) ko`rinishida belgilanadi.
Masalan:

1. 
   Tomonlarning uzunligi x va y ga teng bo`lgan to`g`ri to`rtburchakning yuzi S=xy ga teng. S-ikki o`zgaruvchining funksiyasidir .
   

2. 
   Qirralarning uzunliklari x ,y,z bo`lgan parallelopepidning hajmi
   

V=xyz ga teng bo`lib , V uch o`zgaruvchining funksiyasidir .
2-Ta`rif: Z= ѓ(x;y) funksiya aniqlangan x va y qo`sh (x;y) qiymatlarining to`plami funksiyaning aniqlanish sohasi yoki mavjudlik sohasi deyiladi.
1-misol. Z=ln funksiyaning aniqlanish sohasini toping?
Yechish: >0 da funksiya aniqlangan .
>4x-8
bunda
yoki


2-misol. Z=
Yechish : funksiyani aniqlanish sohasi sistemaning qanoatlantiruvchi barcha ( x;y) juftliklardan iborat. D-aniqlanish sohasi.



Limitlarni hisobalsh
3-Misol. bu limit aniqmaslikga ega . Aniqmaslikni yo`qotish uchun almashtirishni bajaramiz .Bundan esa hamda va ga ega bo`ladi.

Ikki o’zgaruvchining z= (x,y) funksiyasini qaraymiz. O’zgaruvchilardan birining, masalan у ning qiymatini у=у₀ deb olib, fikrlaymiz. U holda (x,y) funksiya bitta х o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi, у х₀ nuqtada hosilaga ega bo’lsin:
Bu hosila z= (x,y) funksiyaning Р₀(х₀,у₀) nuqtada х bo’yicha hosilasi deb ataladi vа ₂'(x₀,y₀) simvoli bilan belgilanadi. (x₀+ x,y)- (x₀,y₀) аyirma z= (x,y) funksiyaning Р₀(х₀,у₀) nuqtada х bo’yicha xususiy оrttirmasi deb ataladi vа _xz simvoli bilan belgilanadi.

Bu belgilanishlarni hisobga olib, bunday yozish mumkin:

z= (x,y) funksiyaning P_O(x₀,y₀) nuqtada у bo’yicha xususiy orttirmasi vа у bo’yicha xususiy hosilasi shunga o’xshash aniqlanadi:
_,
Shunday qilib, ikki o’zgaruvchi funksiyasining uning argumentlaridan biri bo’yicha xususiy hosilasi bu funksiya xususiy orttirmasini shu argument orttirmasiga nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limitiga teng.
Bir necha o’zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari yana o’zgaruvchilarning funktsiyalari bo’ladi. Bu funksiyalar o’z navbatida xususiy hosilalarga ega bo’lishi mumkin, bu xususiy hosilalar dastlabki funksiyaning ikkinchi xususiy hosilalari deb ataladi.
Masalan, ikki o’zgaruvchining z= (x,y) funksiyasi to’rtta ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega, ular quyidagicha aniqlanadi vа belgilanadi:

2.Xususiy hosilali

Ta`rif: Xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, shu tenglamani qanoatlantiradigan funksiyaga aytiladi.
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma`lumki, tartibli

tenglamaning yechimi ta ixtiyoriy o`zgarmasga bog`liqdir, ya`ni . Bu o`zgarmaslarni aniqlash uchun noma`lum funksiya qo`shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun bu masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o`zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog`liq bo`lib, bu funksiyalar soni tenglamalar tartibiga teng bo`ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo`ladi.

2. 
   To’la differensial nima
   

2. 
   Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va x₀(a,b) bo‘lsin.
   
3. 
   1-ta’rif. Agar f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi y orttirmasini
   
4. 
   y=Ax+(x)x (1.1)
   
5. 
   ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, bu funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bunda A - x ga bog‘liq bo‘lmagan biror o‘zgarmas son, (x) esa x0 da cheksiz kichik funksiya, ya’ni .
   
6. 
   y=kx+b chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun y=kx tenglik o‘rinli, ya’ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga to‘g‘ri proportsional. Tarifdagi y=Ax+(x)x tenglik esa funksiya orttirmasi argument orttirmasiga «deyarli to‘g‘ri proportsional»ligini bildiradi, ya’ni yAx. Bu tenglik |x| qanchalik kichik bo‘lsa, shunchalik aniqroq bo‘ladi. Geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigi x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida biror novertikal to‘g‘ri chiziq, ya’ni biror chiziqli funksiya grafigi bilan «qo‘shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigini x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida «to‘g‘rilash» mumkinligini anglatadi