Funksiyaning yuqori tartibli hosilalari. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Differensial shaklining invariantligi

Mavzu: Yuqori tartibli hosilalar.Hosilaning tadbiqlari.
Reja:

1. 
   Funksiyaning yuqori tartibli hosilalari.
   
2. 
   Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.
   
3. 
   Differensial shaklining invariantligi.
   

1. 
   Funksiyaning yuqori tartibli hosilalari.
   

Faraz qilaylik, f (x) funksiya (a, b) da berilgan bo‘lib, xe (a, b) da f ‘( x ) hosilaga ega bo'lsin. Bu f ‘(x) funksiyani g(x) orqali belgilaymiz:
g(x ) = f '(x) , (x e (a , b) ) .

1. 
   ta’rif. Agar x₀ e (a, b) nuqtada g(x) funksiya g’(x₀) hosilaga ega bo‘lsa, bu hosila f (x) funksiyaning X nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va f "(x₀) yoki kabi belgilanadi.
   

Xuddi shunga o‘xshash, f (x) ning 3 - tartibli f "'(x), 4 – tartibli f ^IV(x) va h.k. tartibli hosilalari ta’riflanadi.

Umuman,f(x) funksiyaning n- tartibli hosilasi bo‘lganf ⁽ⁿ⁾(x) ning hosilasi f (x ) funksiyaning (n+ l)- tartibli hosilasi deyiladi:
f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = (f ⁽ⁿ⁾ (x)) '
Odatda,f(x) funksiyaning f "(x ),f '" ( x ) ,... hosilalari uningyuqori tartibli hosilalari deyiladi. Shuni ta’kidlash lozimki,f(x) funksiyaning X€ (a, b) da n - tartibli hosilasining mavludligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida 1-, 2 - ,..., (n - l ) - tartibli hosilalari mavludligini taqoza etadi. Ammo bu hosilalaming mavludligidan n- tartibli hosila mavludligi, umuman aytganda, kelib chiqavermaydi. Masalan,
f(x) =
funksiyaning hosilasi f '( x ) = |x| bo‘lib, bu funksiya x = 0 nuqtada hosilaga ega emas, y a ’ni berilgan funksiyaning x = 0 da birinchi tartibli hosilasi mavlud, ikkinchi tartibli hosilasi esa mavlud emas.
1- misol. f (x ) = a^x bo‘lsin, a > О, x е R. Bu funksiya uchun
(a^x )’ = a^x lna,
(a^x )²= (a^x ln a )' = a^x (ln a)²,
Umuman (a^x)ⁿ = a^x (ln a)ⁿ (1)
bo‘ladi. (1) munosabatning o‘rinli bo‘lishi matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi.
2- misol. f (x ) = sin x bo‘lsin. Bu funksiya uchun
(sin x)' = cos x = sin(x +ℼ/2) ,
(sin x) ' = (cos x ) ' = - sin x = sin (x + 2x( ℼ/2)) .
Umuman, (sin x )⁽ⁿ⁾ = sin (x + nx (ℼ/2)) bo‘ladi. Shunga o'xshash,
( cosx )⁽ⁿ⁾ = cos (x + nx (ℼ/2)) bo’ladi.
3 - miso). f ( x ) =x^a, bo’lsin, x > о а € R . Bu funksiya uchun
( x^a ) ' = а х^a-1
(x^a )" = (ax^a-1 )' = а ( а - 1)x^a-2
umuman,
(x^a )⁽ⁿ⁾ = а (а- 1)( а- 2 )...(а - п + 1)x^(a-n) bo‘ladi.
Xususan, f ( x ) = (1/x) , (х>0 ) funksiya uchun (1/x)ⁿ=
bo‘lib, undan
(lnx)ⁿ= bolishini topamiz.
Faraz qilaylik, f ( x ) va g(x) funksiyalar (a , b) da berilgan bo‘lib,
√ x € (a , b) d a f ⁽ⁿ⁾ (x) va g⁽ⁿ⁾ (x) hosilalaiga ega bo‘Isin. U holda:
1) ( c • f ( x ) )⁽ⁿ⁾ = с • f⁽ⁿ⁾(х ), с = const;
2) (f ( x )±g(x))⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾(x) ±g⁽ⁿ⁾( х ) ;
n
3) (f(x) • g(x))⁽ⁿ⁾ =∑C f^(k)(x) • g^(n-k)(x), (2)
k=0
(C = , f⁽⁰⁾(x)=f(x) bo'ladi.
Bu tasdiqlardan 3- sining isbotini keltiramiz. Ravshanki, n = 1 da
(2) munosabat o ‘rinli bo‘ladi. Aytaylik, (2) munosabat n — 1 da
o‘rinli bo‘lsin: n-1
(f(x) • g(x))^(n-1) =∑C f^(k)(x) • g^(n-1-k)(x),
k=0

Keyingi tenglikni hamda C + C =C

bo'lishini e’tiborga olib, topamiz:
n-1
(f(x) • g(x))⁽ⁿ⁾ = (f(x) • g(x))^(n-1) )’=(∑C f^(k)(x) • g^(n-1-k)(x))’=
n-1 k=0 n
∑C f^(k+1)(x) • g^(n-1-k)(x)+ f^(k)(x) • g^(n-k)(x)=. . .= ∑C f^(k)(x) • g^(n-k)(x)
k=0 k=0
Odatda, (2) Leybnits formulasi deyiladi.
4- misol. Ushbu y = x² cos 2x funksiyaning n-tartibli hosilasi topilsin.
Leybnits formulasida f (x ) = cos 2x, g (x) = x² deb olamiz.
Unda bu formulaga ko‘ ra, ayni paytda g(x) = x² funksiya uchun k> 2 bo‘lganda
g^(k)(x)=(x² )^(k)=0 , (к >2 ) bo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
(x² co s2 x )⁽ⁿ⁾ = C x²(co s2x)⁽ⁿ⁾ + C (x²) ' ( cos2x)^(n-1) + +C (x ² )’ '(cos 2 x )^(n-2) .
Ravshanki,
(cos2x)⁽ⁿ⁾ = )
(cos2x)^(n-1) = )= = )
(cos2x)^(n-2) = )= = )
Demak,
(x² cos2x)⁽ⁿ⁾ = )


2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.
Faraz qilaylik, f (x) funksiya (a, b) da berilgan bo‘lib, x€ (a, b) nuqtada f "(x) hosilaga ega bo'lsin. Ravshanki, f (x) funksiyaning differensiali
df (x) = f'(x ) d x (3)
bo‘lib, bunda dx = ∆x — funksiya argumentining ixtiyoriy orttirmasi.
2 - ta ’r i f . f ( x ) funksiyaning x e (a, b) nuqtadagi differensiali df(x) ning differensiali f (x) funksiyaning x€ (a, b) nuqtadagi ikkinchi
tartibli differensiali deyiladi va d² f (x) kabi belgilanadi:
d² f ( x ) = d ( d f ( x ) ) .
Xuddi shunga o‘xshash, f (x ) funksiyaning uchinchi d³ xf (x) , to'rtinchi d⁴ f (x) va h.k. tartibdagi differensiallari ta’riflanadi.
Umuman, f(x) fimksiyaning n - tartibli differensiali dⁿ f (x) ning differensialif(x) funksiyaning (n+ l)- tartibli differensiali deyiladi:
dⁿ⁺¹ f (x ) = d (dⁿ f ( x ) ) .
5- misol. Ushbu f (x ) = xe^-x funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali topilsin.
Berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini ta’rifiga ko‘ra topamiz:
d² f ( x ) = d( df (x) ) = d ( d ( x e^-x ) ) = d ( x d e^-x + e^-x dx) =
= d(-xe^-x dx + e^-x dx) = -d(xe^-x )dx+ ( de^-x )dx -
= -(xde^-x + e^-x dx)dx – e^-x(dx)² =
- x e^-x (dx)² – e^-x (dx)² – e^-x (dx)² = ( x - 2 )e^-x(dx)². ►
Differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:
d² f ( x ) = d( df (x) ) = d( f ' (x)dx) = dx ■ d ( f’( x ) ) = = dx • f '' ( x ) d x = f '' (x) (dx)²,
d ³ f ( x ) = d ( d² f ( x ) ) = f '"(x) (dx)³ (4)
^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
dⁿf ( x ) = f ⁽ⁿ⁾ (x)(dx)ⁿ .
Masalan, yuqorida keltirilgan misol uchun
d² (xe^-x) = (xe^-x )’’(dx)² = ( e^-x – xe^-x)( dx)² =
= (e^-x – e^-x –xe^-x)(dx)² = (x-2)e^-x(dx)² bo'ladi.
Aytaylik, f (x) va g(x) funksiyalar (a, b) da berilgan bo'lib,
Vx₀ € (o, nuqtada n- tartibli differensiallarga ega bo‘lsin. U holda:
1) dⁿ (с ■ f ( x ) ) = с ■ dⁿf (x) , с = const;
2) dⁿ( f (x)± g(x)) = dⁿ f(x) ± dⁿg(x)
3) dⁿ (f(x) • g (x )) = dⁿf( x ) • g(x) + C d^n-1 f ( x ) • dg(x) +
+... + C d^n-kf ( x ) ■ d^k g (x) +... + f ( x ) •dⁿ g(x)
bo‘ladi.
Bu munosabatlaming 1- va 2- larining isboti ravshan. 3- munosabatni isbotlashda (2) formuladan foydalaniladi.

4. 
   Differensial shaklining invariantligi.
   

Aytaylik, y = f (x ) funksiya (a, b) da differensiallanuvchi bo‘lib, x o‘zgaruvchi o‘z navbatida biror t o‘zgaruvchining
[α, β] da differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin:
x = φ(t) (t e [ α, β ] x = φ(t)€{[a,b])
Natijada
y = f(( x ) = f(φ(t) )
bo‘ladi. Bu funksiyaning differensiali
dy = (f(φ(t)))'dt= f '(φ(t) ) • φ’(t)dt= f '(φ(t) ) • dφ(t) = f’( x )dx bo‘lib, u (3) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Shunday qilib, у — f (x) funksiyada x o‘zgaruvchi erkli bo‘lgan holda ham, u biror t o‘zgaruvchiga bog'Iiq bo‘lgan holda ham у = f (x) funksiya differensialining
ko‘rinishi bir xil bo‘ladi. Odatda, bu xususiyat differensial shaklining invariantligi deyiladi.
y= f(φ(t) ) funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali quyidagicha bo'ladi:
d² y - d(df ) = d( f ' (x)dx) = df(x) ■ dx + f '(x ) d(dx) =
= f '(x )• (dx)² +f ' (x) d² x.
Bu munosabatni (4) munosabat bilan solishtirib ikkinchi tartibli differensiallarda differensial shaklining invariantligi xossasi o'rinli emasligini topamiz.
Mashqlar
1. Ushbu f(x)=|x|³ funksiya x = 0 nuqtada uchinchi tartibdagi hosilaga ega bo‘ladimi?
2. Ushbu f (x ) = (x - 1 )² sin x sin(x -1 )
funksiyaning n- tartibli hosilasi topilsin (n > 2).
3. Agar y = f (x) funksiya n- tartibli hosilaga ega bo‘lsa,
dⁿ f ( a x + b) = aⁿf⁽ⁿ⁾(ax + b) • (dx)ⁿ bo‘lishi isbotlansin.