Фурье қаторининг яқинлашувчилиги

Фурье қаторининг яқинлашувчилиги


1⁰. Леммалар. Фурье қаторининг яқинлашишини исбот-лашда муҳим бўлган леммаларни келтирамиз.
1-лемма. Агар функция да интегралланувчи бўлса,

бўлади.
◄ Равшанки, лемманинг шартидан

функциялар да интегралланувчи бўлади. сегментда

нуқталарни олиб,

ни қуйидагича ёзиб оламиз

(1)
бунда,
.
Бу (1) тенгликнинг ўнг томонидаги интегралларни баҳолай-миз:

бунда – функциянинг даги тебраниши, .
Модомики, функция да интегралланувчи экан, унда
(2)
қилиб олиниши мумкин.
Энди (1) тенгликнинг ўнг томонидаги иккинчи интеграл-ни баҳолаймиз:

.
Равшанки, ни етарлича катта қилиб олиш ҳисобига
(3)
га эришиш мумкин.
Натижада (1) , (2) ва (3) муносабатлардан

бўлиши ва ундан

бўлиши келиб чиқади.
Худди шунга ўхшаш

исботланади.►
Агар оралиқни шундай

бўлакларга ажратиш мумкин бўлсаки, ҳар бир да функция узлуксиз бўлиб, нуқталар-да чекли ўнг
,
ва чап

лимитларга эга бўлса, функция да бўлакли-узлуксиз дейилади.
Юқоридаги лемма функция да бўлакли узлуксиз функция бўлган ҳолда ҳам ўринли бўлади.
1-леммадан қуйидаги натижа келиб чиқади.
Натижа. Агар функция оралиқда бўлакли узлуксиз бўлса, унинг Фурье коэффициентлари да нолга интилади:

2-лемма. Ушбу

тенглик ўринли.

◄ Равшанки

бўлади.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда юқоридаги тенгликдан

тенгликнинг келиб чиқишини топамиз.►