Фурье қаторининг яқинлашувчилиги

2⁰. Фурье қаторининг қисмий йиғиндиси. Дирихле интеграли. Функционал қаторлар назариясидан маълумки, қаторнинг яқинлашишини аниқлашда аввало унинг қисмий йиғиндиси топилиб, сўнг бу қисмий йиғиндининг лимити ўрганилар эди.
Функциянинг Фурье қаторининг яқинлашишини аниқ-лашда ҳам аввало унинг қисмий йиғиндиси топилади.
Айтайлик, функция оралиқда интегралланув-чи бўлсин. Бу функциянинг Фурье коэффициентларини топиб, унинг Фурье қаторини тузамиз:

Равшанки, бу қаторнинг қисмий йиғиндиси

бўлади.
Бу тенгликдаги ва ларнинг ўрнига уларнинг юқорида келтирилган ифодаларни қўйиб топамиз:

Маълумки, 2–леммага кўра

бўлади. Унда йиғинди қуйидаги кўринишга келади:
. (4)
Одатда, (4) тенгликнинг ўнг томондаги интеграл функциянинг Дирихле интеграли дейилади.
йиғиндининг бу ифодасини янада ўзгартириб, да нинг лимитини топишга қулайлик келтиради-ган кўринишга олиб келамиз.
Аввало (4) интегралда алмаштиришни бажарамиз. Бунда, интеграл остидаги функция даврли бўлганлиги сабабли интеграллаш чегарасининг ўзгармай қолишини эътиборга олиб топамиз:
.
Бу тенгликни ушбу

икки қисмга ажратиб, ўнг томондаги биринчи интегралда ни га алмаштириб топамиз:

Хусусан, бўлганда

бўлиб, у 1 га тенг бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, 2–леммадан фойдалансак, унда

бўлиши келиб чиқади. Демак,
. (5)
3⁰. Локаллаштириш принципи. функция Фурье қаторининг қисмий йиғиндиси
6)
нинг битта муҳим хоссасини келтирамиз.
Ихтиёрий сонни олиб, (6) интегрални иккита интегралга ажратамиз:
(7)
1-теорема. да нинг лимити нолга тенг бўлади:
.
◄ функция да интегралланувчи бўлганлиги сабабли

функция ҳам да интегралланувчи бўлади. Унда 1-леммага кўра

бўлади.►
(7) муносабат ва келтирилган теоремадан муҳим натижа келиб чиқади:
ушбу

интегралнинг даги лимити мавжуд бўлгандагина нинг лимити мавжуд ва

муносабат ўринли бўлади.
Маълумки, интегралда функциянинг оралиқдаги қийматларигина қатнашади.
Демак, функция Фурье қаторининг нуқтада яқинлашувчилиги ёки узоқлашувчилиги бу функциянинг шу нуқта атрофи даги қийматларигагина боғлиқ бўлади. Буни локаллаштириш принципи деб юритилади.