F(X)dx *=0 boiadi b 1- misol. Ushbu j sin X dx integral hisoblansin a

Jn = (-s in ” 1 X ■ COS A')i2 + ( « - 1)Jsin '7 2 xcos2 xdx -
= ( n - 1)Jsin"-2 x (l - sin2 x)dx = ( « - l)Js in ” 2 xdx — (w — 1)J sin" xdx =
0 0 0
— (fl — 1)J,i- 2 -{n -\ )J„
bo‘lib, undan ushbu
J/n -- —n ~ l J/n- 2
rekurrent formula kelib chiqadi.
Bu formula yordamida berilgan integralni n= 1, 2, 3,... boiganda
ketma-ket hisoblash mumkin.
Aytaylik, n = 2m — juft son boisin. U holda
j _ 2m - l 2m-3 5 3 1 » _(2m—1)!! n
2m ~ 2m 2m-2 ' ' 6 ’ 4 ’ 2 0 ” (2 m)!! ’ 2
boiadi.
Aytaylik, n = 2m + 1 — toq son boisin. U holda
j _ 2m 2m-2 6 4 2 , _ (2m)ь
2m+I “ 2m+l' 2m-A ’ *“ ' 7 5 * 3 * 1 “ (2m+l)H
boiadi. (mь simvol m dan katta boimagan va u bilan bir xil juftlikka
ega boigan natural sonlaming ko‘paytmasini bildiradi.) ►
5°. Vallis formulasi. Maiumki, 0 < x < - boiganda
sin2w+1 x < sin2" x < sin2""1 x , (n = 1,2,3,...)
tengsizliklar o‘rinli boiadi. Bu tengsizliklami jo , ^ j oraliq bo‘yicha
integrallab,
n
2 2 2
J sin2/,+1 xdx < j sin2" xdx < J sin2"-1 xdx,
0 0 0
251
so‘ngra 4° da keltirilgan formulalardan foydalanib topamiz:
(2n)ь (2* -l)ь n < (2/i—2)!!
(2/»+l)!! (2n)ь 2 (2/f—1)!!
Bu tengsizliklardan
(2«)ь f 1 k J (2/i)H f 1
(2/i—I)!! J 2n+l 2 ^(2n-l)ь J 2«
bo'lishi kelib chiqadi.
Keyingi tengsizliklardan topamiz:
-2 = nli-m»oo 2/1+t1
(2/7)!!
(2 « -!)!! (6)
(6) formula Vallis formulasi deyiladi.
Mashqlar
i i
1. Agar / ( x ) e R([0,11) bo‘ lsa, lim \ f(x )d x = f f(x )d x n ->oo J J
1 0
n
tenglik isbotlansin.
IOOic __________
2. Ushbu J Vl - cos 2xdx integral hisoblansin.
o
i
i , r ,
3. Ushbu f — T = I — T, (/ > 0) tenglik isbotlansin.
Jt \+xL i 1+xL
Matematik analiz 245 bet