G. ahmedova, I. Xolbayev

1. Azimutal tenglama. (6.13) ifodada keltirilgan azimutal to‘lqin 
tenglamasi z o‘qi atrofida aylanayotgan de-Broyl to‘lqin funksiyasini 
ifodalaydi.  Bu  tenglama  garmonik  ossillyator  tenglamasi  bilan 
o‘xshash  bo‘lib,  ikkita  haqiqiy  yechimga  va  bitta  kompleks  davriy 
funksiyaga ega bo‘ladi, ya’ni: 





=
=
=
ϕ
φ
ϕ
φ
ϕ
φ
l
l
l
l
im
A
m
A
m
A
cos
sin
.  
 
 
(6.14) 
Agar  atom  z  o‘qi  atrofida  to‘liq  bir  marta  aylansa, 
φ
  funksiya 
dastlabki  holatini  oladi  va  azimut  burchagi  yana 
ϕ
  ga  teng  bo‘ladi. 
m
ℓ
ϕ
  kattalik  2
π
  ga  karrali  bo‘lganda  har  safar  (6.14)  funksiyaning 
bunday sharti qondiriladi. 
ϕ
 radianlarda o‘lchanadi, u holda m
ℓ
 butun 
son  qiymatlariga  ega  bo‘lishi  kerak.  Lekin,  m
ℓ
  ning  nolga  teng 
qiymatini va qarama-qarshi tomonga aylanishini hisobga olish zarur. 
U vaqtda m
ℓ
 ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:  
m
ℓ
=0, 
±
1, 
±
2, 
±
3,… 
 
 
(6.14a) 
“–”  ishora  qarama-qarshi  tomonga  aylanishini  bildiradi,  m
ℓ
  ning  bu 
qiymatlarining kvadrati (6.14)dagi turli xususiy funksiyalarga tegishli 
bo‘lgan  xususiy  qiymatlardir.  O‘z  navbatida  bu  qiymatlar  azimutal 
tenglamaning  mumkin  bo‘lgan  yechimlaridir.  Doimiy  kattalik  m
ℓ
 
vodorod  atomini  xarakterlaydigan  kvant  sonidir.  m
ℓ
  – orbital  magnit 
soni deyiladi. 
2.  Qutb  koordinatalaridagi  tenglama.  (6.12)  tenglama  qutb 
tenglamasi  bo‘lib,  qutb  burchagining  dastlabki  holatiga  nisbatan 
o‘zgarganidagi  de-Broyl  to‘lqin  funksiyasini  ifodalaydi.  Bu 
tenglamaning  yechimi Lejandrning ulangan polinomlari kabi bo‘ladi 
va quyidagicha ifodalanadi: 
)
(cos
θ
l
lm
Ρ
. 
 
 
(6.15) 
 
176
Bu  polinomlar  cos
θ
  va  m
ℓ
,  ℓ  doimiyliklarga  bog‘liq  bo‘ladi.  m
ℓ
 
musbat  va  manfiy  butun  sonlarni  hamda  nol  qiymatlarni  qabul 
qilgani  uchun  qutb  burchagi  0  dan 
π
  gacha  o‘zgaradi.  Lejandr 
polinomlari  xossasiga  asosan  (6.15)  ifodadagi  yechim  ℓ  butun 
sonlarga teng va m
ℓ
 ning absolyut qiymatidan katta yoki teng bo‘lgan 
qiymatlaridagina to‘g‘ri bo‘ladi. Bunday shartdan ikkinchi kvant son 
– orbital kvant sonining qabul qilishi mumkin bo‘lgan son qiymatlari 
kelib chiqadi, ya’ni: 
ℓ=0, 1, 2, 3,… 
ℓ  m
ℓ
  ning  absolyut  qiymatidan  katta  yoki  teng  bo‘lganligidan  ℓ=0 
bo‘lsa, m
ℓ
=0 yoki ℓ=1 bo‘lsa, m
ℓ
 0 yoki 
±
1 qiymatlariga teng bo‘lishi 
mumkin, ya’ni: 
m
ℓ
=0, 
±
1, 
±
2, 
±
3, …,
±
ℓ 
Umumiy  holda  ℓ  ning  har  bir  berilgan  qiymatiga  (2ℓ+1)  yechim 
to‘g‘ri  keladi.  Yoki  buni  quyidagicha  ta’riflash  mumkin:  ℓ  ning  har 
bir berilgan qiymatiga to‘g‘ri keladigan holat m
ℓ
 ga nisbatan (2ℓ+1)ga 
karrali  turlangan  bo‘ladi.  Agar  ℓ  ning  har  bir  qiymatiga  to‘g‘ri 
keladigan  (2ℓ+1)  sondagi  energiyalarning  xususiy  qiymatlari  o‘zaro 
teng  bo‘lsa,  bunday  holat  turlangan  deyiladi.  Ikkinchi  tomondan, 
qandaydir biror fizik hodisalar ta’sirida xususiy qiymatlarga ajraladi, 
bu  vaqtida  turlanish  yo‘qoladi,  hosil  bo‘lgan  holat  turlanmagan 
deyiladi. 
3.  Radial  tenglama.  (6.9)  to‘lqin  tenglamasi  radial  tenglama 
bo‘lib,  protondan  uzoqlik  masofasi  r  ga  bog‘liq  ravishda  de-Broyl 
to‘lqin  funksiyasini  ifodalaydi.  Bu  tenglamaning  yechimi  Lejandr 
polinomi L
n,e
(r) ko‘rinishda bo‘lib, quyidagicha ifodalanadi: 
)
(
)
(
,
,
r
L
r
å
r
R
n
nr
n
l
l
l
−
=
.   
 
(6.16) 
Bunda  n  –  noldan  farqli  bo‘lgan  istalgan  butun  musbat  son,  ℓ  – 
orbital kvant son, n – esa bosh kvant son deyiladi. Lejandr polinomi 
xossasiga asosan (6.16) yechim to‘g‘ri bo‘lishi uchun n>ℓ+1 bo‘lishi 
kerak.  Bunday  shartdan  n  ning  qabul  qilishi  mumkin  bo‘lgan  son 
qiymatlari kelib chiqadi. 
Shunday  qilib,  uch  (6.9),  (6.12)  va  (6.13)  tenglamalardan 
vodorod atomi uchun bir-biri bilan quyidagicha bog‘lanishda bo‘lgan 
uchta kvant sonlar tizimi hosil qilindi: 
Bosh kvant son n=1, 2, 3,…; 
Orbital kvant son ℓ=0, 1, 2, 3,…,(n–1); 

 
177
Orbital magnit kvant son m
ℓ
=0, 
±
1, 
±
2, 
±
3,…,
±
ℓ 
n  ning  berilgan  qiymatida  (6.5)  formulada  ifodalangan 
Shredinger 
tenglamasining 
bir-biriga 
bog‘liq 
bo‘lmagan 
yechimlarining soni quyidagicha aniqlanadi: 
1
2
0
(2
1)
n
n
−
=
+ =
∑
l
l
.  
 
 
(6.17) 
4.  To‘liq  to‘lqin  funksiyasi.  Vodorod  atomining  qaralayotgan 
modeli  uchun  to‘liq  to‘lqin  tenglamasini  hosil  qilishda  dastlab 
yuqorida  hosil  qilingan  (6.9),  (6.12),  (6.14) tenglamalarning  har  biri 
tegishli chegarada har bir koordinata (r,
θ
,
ϕ
) uchun normallash kerak. 
Hosil  qilingan  ifodalar  (6.7)  tenglamadagi  kabi  ko‘paytiriladi.  Agar 
hosil  qilingan  natijaviy  to‘liq  to‘lqin  tenglamasi  uning  xususiy 
funksiyalarida  yechilsa,  u  vaqtda  bu  yechimlarning  har  biri 
o‘zgaruvchi  amplituda  bilan  xarakterlanishini  ko‘rish  mumkin. 
Koordinata  boshi  atrofidagi  fazo  tugunli  sirtlar  bilan  bo‘limlarga 
ajratiladi.  Bunda  har  bir  ikki  qo‘shni  bo‘limlarda  tebranish 
amplitudasi faza bo‘yicha qarama-qarshi bo‘ladi. Tugunli sirtlar soni 
n–1 ga teng. 
Agar  energiyaning  xususiy  qiymatlari  kvant  sonlarining  aniq 
biror  to‘plami  uchun  hisoblansa,  hisoblangan  qiymatlar  faqat  bosh 
kvant  son  n  ga  bog‘liqligini  ko‘rish  mumkin.  Bu  esa  qaralayotgan 
soddalashtirilgan model uchun tizim aynishining ifodasidir. Masalani 
kvant  mexanikasi  asosida  yechishda  energiyaning  diskret  xususiy 
qiymatlarini  hosil  qilish  uchun  orbita  radiusining  har  bir  qiymatida 
elektronning to‘liq energiyasi E, uning potensial  energiyasi U(r) dan 
kichik  bo‘lishi  kerak.  Bunday  holatlar  bog‘langan  holatlar, 
elektronlar  esa  bog‘langan  elektronlar  deyiladi.  Agar  to‘liq  energiya 
potensial  energiya  U(r)  dan  katta  bo‘lsa,  elektron  istalgan  energiya 
qiymatiga  ega  bo‘lishi  mumkin.  Bunda  elektron  energiyasi 
kvantlanmaydi  va  u  erkin  bo‘ladi.  Bog‘langan  holatlar  yoki 
bog‘langan  elektronlar  uchun  energiyaning  xususiy  qiymatlari 
quyidagi formula orqali hisoblanadi: 
4
2
2
2
2
2
0
1
( 13, 6)
32
1, 2, 3,...
n
me
E
eU
n
n
n
π ε
= −
= −
=
h
  
 
(6.18) 
 
178
(6.18)  formula  Bor  nazariyasida  hosil  qilingan  energiya  formulasi 
bilan mos keladi.  
Bor  nazariyasida  hosil  qilib  bo‘lmaydigan  ko‘pgina  boshqa 
natijalar kvant-mexanik tasavvurlar asosida  hosil  qilinadi. Jumladan, 
kvant  mexanikasi  energetik  holatlar  aynishi  bilan  bog‘liq  bo‘lgan 
masalalarni  yoki  tabiatda  mavjud  bo‘lgan  atomlar  xossalari  bilan 
to‘g‘ri keladigan atom  modelini aniqlashga  imkon berdi. 6.2-rasmda 
Kulon  potensial  chuqurligi  va  chuqurlikda  bog‘langan  elektronlar 
tizimiga  tegishli  bo‘lgan  energetik  sathlar  sxematik  ravishda 
keltirilgan. Xudi shunday rasmda energetik sathlar orasida bo‘ladigan 
ba’zi  bimr  optik  o‘tishlar  ko‘rsatilgan.  Bunday  o‘tishlar  vodorod 
atomi  spektridagi  Balmer  seriyasini  hosil  qiladi.  Rasmlar 
elektronning  to‘liq  energiyasi  nolga  yaqinlashishi  bilan  energetik 
sathlar  zichlashishi  tasvirlangan.  Elektronning  to‘liq  energiyasi 
noldan  kata  bo‘lganda,  ya’ni  E>0  da  erkin  harakat  qiladi,  bunda 
energetik  sathlar  kvantlanmaydi.  Erkin  elektron  energiyasi  diskret 
bo‘lmagan tutash spektrni hosil qiladi. 
 
6.2-rasm
. 
 
Shunday  qilib,  vodorod  atomi  uchun  Shredinger  tenglamasining 
yechimi  uchta  kvant  son  n,ℓ,m
ℓ
  larga  bog‘liq  bo‘lib,  quyidagicha 
ifodalanadi: 
, ,
,
(
)
( )
( )
( ).
m
n
m
n
m
r
R
r
ψ
θϕ
θ φ ϕ
=
Θ
l
l
l
  
 
(6.19) 
 

 
179
6.2-§. Vodorodsimon atomlar 
 
Vodorodsimon atomlar va tizimlar deb  oralarida elektr tortishish 
kuchlari  ta’sir  qilayotgan  ikki  nuqtaviy  massadan  iborat  tizimga 
aytiladi.  Vodorodsimon  atomlarga  vodorodsimon  ionlar,  vodorod 
izotoplari, pozitroniy  va myuoniy,  myuonli atomlar, adronli atomlar, 
Ridberg atomlari misol bo‘ladi. Vodorodsimon atomlarning prototipi 
vodorod  atomi  hisoblanadi.  Shuning  uchun  vodorod  atomi  uchun 
yozilgan barcha formulalar vodorodsimon atomlar uchun ham to‘g‘ri 
bo‘ladi.  Vodorod  atomi  uchun  Z=1,  proton  massasi  M  va  elektron 
massasi m. 
Vodorodsimon  ionlar.  Bunday  ionlarga  bir  marta  ionlashgan, 
zaryad  soni  Z=2  bo‘lgan  geliy  atomi  He
+
;  ikki  marta  ionlashgan, 
zaryad  soni  Z=3  bo‘lgan  litiy  atomi  Li
++
;  uch  marta  ionlashgan, 
zaryad  soni  Z=3  bo‘lgan  berilliy  atomi  Be
+++
  va  boshqa 
vodorodsimon ionlar kiradi. 
Atomda  yadro atrofida  elektron buluti taqsimlanishining zichligi 
maksimum bo‘lgan radius quyidagicha aniqlanadi: 
2
0
n
n a
r
Z
=
. 
 
 
(6.20) 
2
2
0
0
4
me
a
h
πε
=
 – vodorod atomida birinchi Bor orbitasi radiusi. 
Vodorodsimon atomlarning energetik sathlari energiyasi: 
2 4
2
2
2
2
0
32
n
mZ е
E
n
π ε
= −
h
   
 
(6.21) 
Bunda n=ℓ+k+1 bo‘lib, n, ℓ, k lar butun sonlar; n – bosh kvant son, ℓ 
–  orbital  kvant  son,  k  –  radial  kvant  son.  ℓ  va  k  lar  0,1,2,… 
qiymatlarni, n=1,2,3,… qiymatlarni qabul qiladi, Z – zaryad soni.  
(6.20) va (6.21) formulalardan ko‘rinadiki, He, Li, Be atomlarida 
birinchi  Bor  orbitasining  radiusi  (tegishlicha  boshqa  orbitalar  ham) 
vodorod  atomiga  qaraganda  Z  marta  kichik,  ionlashtirish  potensiali 
esa 
Z
2
 
marta 
kattadir. 
Yadro 
atrofida 
elektron 
buluti 
taqsimlanishining  zichligi  radial  yo‘nalishda  qaralganda  n=ℓ+k+1 
ifodada  k=0,  ℓ=n–1  da  orbitalar  aylanma  bo‘ladi,  k
≠
0  da  orbitalar 
elliptik bo‘ladi. 
 
180
Vodorod izotoplarida (deyteriy va tritiy) proton deytron va triton 
bilan  almashgan  bo‘ladi.  Deytron  proton  va  neytrondan,  triton  esa, 
proton  va  ikkita  neytrondan  tashkil  topgan.  Shuning  uchun  deyteriy 
va  tritiyda  vodorod  atomidagi  singari  Z=1  bo‘ladi,  energetik  sathlar 
energiyasi 
orasidagi 
farq 
keltirilgan 
massaning 
bir 
xil 
bo‘lmaganligidir.  Deytron  va  triton  massasi  proton  massasidan 
taxminan  tegishlicha  ikki  va  uch  marta  katta.  Proton,  deytron  va 
triton  uchun  keltirilgan  massalarning  nisbiy  farqi  10
–3
  tartibidadir. 
Bundan  ko‘rinadiki,  deyteriy  va  tritiy  uchun  orbita  o‘lchamlari  va 
ionlashtirish  potensiali  qiymatlari  vodorod  atomi  uchun  shu 
kattaliklar  qiymatlari  bilan  mos  tushadi.  Keltirilgan  massalar 
orasidagi  kichik  farq  nurlanish  spektral  chiziqlarining  izotopik 
siljishiga  olib  keladi.  Izotopik  siljishning  nisbiy  qiymati  nurlanish 
chastosining 10
–3 
tartibidadir. 
Pozitroniy va myuoniy. Pozitroniy deb, pozitron e
+
 va elektron e
–
 
dan  iborat vodorodsimon tizimga aytiladi. Pozitron  massasi eyektron 
massasiga  teng,  zaryadi  bir  musbat  zaryadga  teng.  Bunday  tizim 
uchun  Z=1,  keltirilgan  massasi  esa  vodorod  atomi  keltirilgan 
massasidan  deyarli  ikki  marta  kichik.  Shuning  uchun  vodorod 
atomiga  qaraganda pozitroniy Bor  orbitasi  o‘lchami  ikki  marta katta 
va ionlashtirish potensiali ikki marta kichik. Myuoniy musbat myuon 
µ
+ 
va  elektrondan  tashkil  topgan.  Myuon  o‘z  xossalari  bilan 
pozitronga  o‘xshaydi,  lekin  massasi  pozitron  massasidan  207  marta 
kattadir. Myuon zarralari leptonlar guruhiga kiradi. Leptonlar kuchli 
o‘zaro ta’sirlarda qatnashmaydi. 
Myuon  beqaror  zarra  bo‘lib,  uning  yashash  vaqti  2,2  mksdir. 
Myuon  uchun  Z=1,  keltirilgan  massasi  vodorod  atomi  keltirilgan 
massasiga  teng,  myuonning  Bor  orbitasi  o‘lchami  va  ionlashtirish 
potensiali  qiymatlari  vodorod  atomi  bilan  deyarli  bir  xil.  Pozitroniy 
va myuoniy beqaror atomlardir. Myuoniyning beqarorligi va yashash 
vaqti  myuonning  beqarorligi  va  yashash  vaqti  bilan  aniqlanadi. 
Pozitroniyning beqarorligi pozitron  va elektronning  mumkin bo‘lgan 
o‘zaro  annigilyasiyasi  bilan  xarakterlanadi.  Pozitroniy  ikki  xil 
bo‘ladi:  ortopozitroniy  va  parapozitroniy.  Ortopozitroniyda  pozitron 
va  elektron  spinlari  qarama-qarshi  yo‘nalgan.  Ortopozitroniyda 
1,4
⋅
10
–7
s  vaqt  oralig‘ida  annigilyasiyadan  uchta  gamma-kvant  hosil 

 
181
bo‘ladi,  parapozitroniyda  esa  1,25
⋅
10
–10
s  vaqt  oralig‘ida  ikkita 
gamma-kvant hosil bo‘ladi. 
Myuonli atomlar. Yadro zaryadi Zye bo‘lgan va elektroni manfiy 
myuon 
µ
–
  bilan  almashtirilgan  atomlar  myuonli  atomlar  deyiladi. 
Manfiy  ion  massasi  va  yashash  vaqti  musbat  ionga  tegishli  va  shu 
kattaliklarga  tengdir.  Zaryadi  esa  manfiy  ishoralidir.  Vodorod  atomi 
uchun  yozilgan  formulalar  o‘zgarishsiz  holda  myuon  uchun  ham 
to‘g‘ri bo‘ladi, faqat elektron massasini manfiy myuon massasi bilan 
almashtirish  kerak.  Manfiy  myuon  massasi  elektron  massasidan  207 
marta  katta.  Bu  vaqtda  keltirilgan  massa  ham  186  marta  ortadi. 
Myuonli atomlarda Bor orbitasi o‘lchami vodorod atomi Bor orbitasi 
o‘lchamidan 186  marta kichik, ionlashtirish potensiali  esa 186 marta 
katta.  Spektral  chiziqlar  chastotasi  vodorod  atomida  n
→
n
1 
o‘tishda 
hosil  bo‘ladigan  spektral  chiziqlar  chastotasidan  186  marta  kattadir. 
Bu  esa  pastki  energetik  sathlar  orasidagi  o‘tishlarda  rentgen 
nurlanishlari  hosil  bo‘lishini  ko‘rsatadi.  Z  katta  bo‘lgan  myuon 
atomlarida  keltirilgan  massaga  bo‘lgan  tuzatmani  hisobga  olmaslik 
mumkin.  Shuning  uchun  og‘ir  myuonli  atomlarda  Bor  orbitasi 
o‘lchami  207Z  marta  kichrayadi,  ionlashtirish  potensiali  esa  207Z
2
 
marta  ortadi,  vodorod  atominikiga  nisbatan,  Z~10
2
  tartibda  bo‘lsa, 
Bor orbitasi  o‘lchami 10
–15
m tartibda bo‘ladi, ionlashtirish potensiali 
esa  bir  necha  MeV  bo‘ladi.  Myuonli  atomlar  zaryadi  yadro  hajmi 
bo‘ylab taqsimlangandir. Bu esa ayrim hajmiy effektlarga olib keladi. 
Og‘ir  yadroli  myuonli  atomlarda  bunday  effektlar  ko‘proq 
sezilarlidir.  Myuonli  atomlar  spektri  yadrolarning  ichki  tuzilishga 
juda  bog‘liqligini  ko‘rsatadi,  bundan  esa  yadrolar  tuzilishini 
o‘rganishda foydalanish mumkin. Myuonli atomlarda myuon orbitasi 
yadro  ichkarisiga  tushadi.  Myuonli  atomlar  yashash  vaqti  chekli 
bo‘lib, 
µ
–
  myuon  yashash  vaqti  bilan  aniqlanadi  (
≈
2,2mks).  Odatda, 
myuonli  atomlar  qobig‘ida  myuon  bilan  birga  elektron  ham  bo‘ladi, 
lekin ularning ahamiyati kamdir, chunki elektronga qaraganda myuon 
yadroga  yaqinroq  turadi.  Myuonli  atomlar 
µ
–
  myuonni  qamrab 
olgandan  so‘ng  uyg‘ongan  holatga  o‘tadi  va  so‘ng  elektromagnit 
nurlanishlar  yoki  atom  qobig‘idan  elektronni  chiqarish  bilan  asosiy 
holatga o‘tadi. 
Adronli  atomlar.  Adronli  atomlarda  yadro  zaryadi  Zye  bo‘lib, 
elektron  manfiy  adron  bilan  almashgan  bo‘ladi.  Adronlar  kuchli 
 
182
o‘zaro ta’sirlarda qatnashadigan zarralardir. Spini yarim butun songa 
teng  bo‘lgan  adronlar  barionlar  deyiladi,  spini  butun  songa  teng 
bo‘lgan  adronlar  mezonlar  deyiladi.  Barionlarga  proton,  antiproton, 
neytron,  antineytron,  giperon,  sigma,  ksi  kabi  zarralar  kiradi. 
Mezonlarga 
Π
-mezonlar,  K-mezonlar  va  boshqalar  kiradi.  Vodorod 
atomi  uchun  yozilgan  formulalar  adronli  atomlar  uchun  birinchi 
yaqinlashishda  ishlatilishi  va  Bor  orbitasi  o‘lchami  va  ionlashtirish 
potensiali  qiymatlari  uchun  katta  natijalar  berishi  mumkin.  Lekin, 
kuchli  o‘zaro  ta’sir,  qisqa  ta’sir  bo‘lganligi  sababli  uyg‘ongan 
holatlar  uchun  kuchli  o‘zaro  ta’sir  kamayadi,  bu  vaqtda  vodorod 
atomi  uchun  yozilgan  formulalardan  adronli  atomlar  uchun  to‘g‘ri 
natijalar olish mumkin. 
Ridberg atomlari. Ridberg atomlarida elektron kuchli uyg‘ongan 
holatda  joylashadi,  ya’ni  bosh  kvant  soni  –  n  katta  qiymatga  ega 
bo‘ladi.  Bunday  elektron  yoki  atom  yuqori  Ridberg  holatida 
joylashgan deyiladi. Elektron orbitasi o‘lchami 
α
=
α
0
n
2
 formula bilan 
aniqlanadi.  Bunda 
α
0
=5,3
⋅
10
–7
m  –  birinchi  Bor  orbitasi  o‘lchamidir. 
Bundan  ko‘rinadiki,  bunday  atomlarda  elektron  orbitasi  o‘lchami 
juda  katta  bo‘ladi.  Masalan,  n=100  bo‘lganda,  orbita  o‘lchami 
α
0
=5,3
⋅
10
–7
m bo‘ladi. Bunday atomning ko‘ndalang kesimi yuzasi n
4
 
ga  proporsional  va  n=1  bo‘lgandagi  asosiy  holatnikidan  10
8
  marta 
katta. Ionlashtirish potensiali esa n
2
=10
4
 marta kichik bo‘lib, 1,36
⋅
10
–
3
eV ga teng. Ridberg atomlarida bog‘lanish kuchsiz bo‘lsada, yashash 
vaqti  nisbatan  kattadir,  uyg‘ongan  qo‘shni  holatlar  oralig‘i  esa 
kichikdir. 
3
2
2
/
2
)
1
(
1
1
n
n
n
≈
+
−
. 
Ridberg  atomlarini  o‘rganish  radioastronomiyada,  plazmalar  va 
lazerlar fizikasida muhim ahamiyatga egadir. 
 
6.3-§. Kvant sonlar 
 
Yuqorida  (V-bobda)  vodorod  atomining  oddiylashtirilgan 
modelini  tahlil  qilish  uchun  Shredinger  tenglamasidan  foydalanildi. 
Bunday  tahlilning  birinchi  natijasi  sifatida  bir-biriga  bog‘liq 
bo‘lmagan  uchta  to‘lqin  tenglamalari  tizimi  hosil  qilindi.  Har  bir 
tenglamaga sferik qutb koordinatalar tizimidagi uchta o‘zgaruvchidan 

 
183
(r,
θ
,
ϕ
) bittasining funksiyasi kiradi. So‘ng bog‘langan holatlar uchun 
(elektronning  to‘liq  energiyasi  potensial  energetik  to‘siqning 
balandligidan  kichik  ya’ni  E
to‘l
<
U(r)  bo‘lgan  holda)  uchta 
kvantlangan  doimiyliklar  (n,ℓ,m
ℓ
)  hosil  qilindi.  Bu  doimiyliklar 
vodorod atomi uchun Bor nazariyasidagi kabi kvant sonlar deb ataldi. 
Sferik  koordinatalar  sistemasida  vodorod  atomi  uchun  yozilgan 
((6.5)  tenglama)  Shredinger  tenglamasining  yechimi  uchta  kvant 
sonlari  n,  ℓ,  m
ℓ
  ga  bog‘liq  bo‘lib,  (6.19)  quyidagi  ko‘rinishda 
ifodalanadi: 
( , , )
( )
( )
( )
m
n m
n
m
r
R
r
ψ
θ ϕ
θ
ϕ
=
Θ
Φ
l
l
l
 
n,  e,  m
e
  kvant  sonlari  R
ne
, 
m
l
Θ
  va 
Φ
m
  funksiyalarning  holatini 
aniqlaydi.  Kvant  sonlarining  ma’nosini  ko‘rib  chiqaylik.  Birinchi 
kvant  son  n  –  bosh  kvant  son  deyiladi.  Bosh  kvant  son  n  vodorod 
atomida bog‘langan holatlar uchun energiyaning elektron ega bo‘lishi 
mumkin  bo‘lgan  diskret  xususiy  qiymatlarini  aniqlaydi.  Buni 
quyidagi formulada ko‘rish mumkin: 
eU
n
n
me
E
n
2
2
2
2
0
2
2
6
,
13
1
32
−
=
−
=
h
ε
π
 
 
(6.22) 
Bunda n – bosh kvant son bo‘lib, birdan boshlanadigan musbat butun 
sonlarni qabul qiladi: 
n=1, 2, 3, … 
Ikkinchi  kvant  son  ℓ  –  orbital  kvant  son  deyiladi.  Orbital  kvant 
son  yordamida  elektron  ega  bo‘la  oladigan  impuls  momenti  L  ning 
diskret qiymatlarini quyidagi formula orqali ifodalash mumkin: 
)
1
(
+
=
l
l
h
L
 
Orbital  kvant  son  –  ℓ  0  dan  n–1  gacha  butun  musbat  sonlarni  qabul 
qiladi, ya’ni 
ℓ=0, 1, 2, 3,…, n–1 
Bor  nazariyasida  elektron  proton  atrofida  orbita  bo‘ylab 
harakatlanayotgan  zarra  deb  qaraladi,  atom  tizimida  kvantlash 
sharoitini  yaratish  uchun  elektronning  impuls  momentini  kvantlash 
qoidasi  kiritilgan.  Endi  kvant  mexanikasi  asosida  impuls  momenti 
uchun  kvantlash  munosabatlarini  topish  kerak.  Buning  uchun 
yuqorida  qaralgan  radial  to‘lqin  tenglamasida  potensial  energiyani 
U(r) bilan belgilab quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: 
 
184
0
)
1
(
2
)
(
2
1
2
2
2
2
=






+
−
−
+






R
mr
r
U
E
m
dr
dR
r
dr
d
r
l
l
h
h
 (6.23) 
bu formulada radial funksiya R ga ko‘paytirilgan qavs ichidagi uchta 
had ham energiya o‘lchov birligiga ega bo‘lishi kerak. Bu tenglamani 
)
1
(
2
+
l
l
h
 ga nisbatan yechimidan quyidagi ifoda hosil bo‘ladi: 
2
2
2
2
)
2
(
)
1
(
p
r
mK
r
=
=
+
l
l
h
 
Bu formulada K – kinetik energiya, p – impuls. Radiusning impulsga 
ko‘paytmasi  impuls  momenti  L  ga  teng,  shuning  uchun  quyidagi 
ifodani yozish mumkin bo‘ladi: 
)
1
(
+
=
l
l
h
L
  
 
 
(6.23a) 
(6.23a)  ifoda  vodorod  atomida  bog‘langan  holatlarda  bo‘lgan 
elektronning kvantlangan orbital impuls momentini bildiradi. Demak, 
orbital  kvant  son  ℓ  elektron  ega  bo‘lishi  mumkin  bo‘lgan  impuls 
momentining diskret qiymatlarini aniqlaydi. 
Orbital  kvant  soni  ℓ  nol  qiymatga  ega  bo‘lishi  mumkinligi 
ko‘rsatildi.  Bor  nazariyasida  impuls  momenti  nol  bo‘lgan  holat 
bo‘lishi  man  qilinadi.  Shredinger  nazariyasida  esa  impuls  momenti 
nol  bo‘lgan  holat  bo‘lishi  mumkin.  (6.23a)  formula  Bor  modelida 
impuls  momentining  kvantlash  shartiga  juda  o‘xshashdir.  Bor 
nazariyasida 
h
n
r
m
L
=
= ϑ
  
 
 
(6.24) 
bunda  n  –  yadro  atrofida  orbita  bo‘ylab  harakatlanayotgan  elektron 
uchun to‘liq kvant sonini ifodalaydi: 
n=1, 2, 3, … 
Orbital  kvant  soni  –  ℓ  to‘liq  to‘lqin  funksiyasining  koordinata 
boshi  atrofida  turli  yo‘nalishda  taqsimlangan  qismini  aniqlaydigan 
sferik garmonik funksiyalar xossalaridan hosil bo‘ladi.  
ℓ  ning  katta  qiymatlarida  (6.23a)  formula  quyidagi  ko‘rinishga 
keladi: 
lh
l
l
h
≈
+
=
)
1
(
L
   
 
(6.24a) 
Bu esa Bor postulatiga o‘xshashdir: 
h
n
L
=
 

 
185
Atom  spektrlarini  o‘rganishda  optik  spektroskopiyada  ℓ  ning  har  bir 
son  qiymati  elektron  holatlarni  aniqlaydigan  kichik  lotin  harflari 
bilan quyidagicha belgilanadi (6.1-jadval). 
6.1-jadval 
ℓ ning qiymatlari 
0 
1 
2 
3 
4 
Holatlar belgisi 
s 
p 
d 
f 
g 
Bunday belgilashlarga asosan agar ℓ=0 bo‘lsa, s-elektronlar, ℓ=1 
bo‘lsa,  p-elektronlar,  ℓ=2  bo‘lsa,  d-elektronlar  va  hokazo  deb 
yuritiladi.  Elektronning  holati  kvant  sonlari  bilan  quyidagicha 
ko‘rsatiladi: n=1, ℓ=0 da 1s holat, n=2, ℓ=1 da 2p holat, n=3, ℓ=2 3d 
holat  va  hokazo.  ℓ=0  bo‘lgan  s  holat  elektronning  impuls  momenti 
nol  bo‘lgan  holatdir.  Bunday  holatda  vodorod  atomi  uchun  bo‘lgan 
uchta  to‘lqin  funksiyasidan  faqat  bitta  radial  to‘lqin  funksiyasi 
qoladi. Shuning uchun atom tizimi  qutb 
θ
  va azimut 
ϕ
 burchaklarga 
bog‘liq bo‘lmaydi. Bu vaqtda tizim sferik-simmetrik bo‘ladi. Lekin ℓ 
noldan  farqli  qiymatlarni  ham  qabul  qilgani  uchun  to‘liq  to‘lqin 
funksiyasi  sferik  simmetriyaga  ega  bo‘lmaydi  va  sistema  impuls 
momentiga ega bo‘ladi. (6.23) tenglamada kvadrat qavsdagi uchinchi 
had R – to‘lqin funksiyasiga xuddi Kulon potensial to‘sig‘i U(r) kabi 
ta’sir  qiladi.  Shuning  uchun  uchinchi  had  impuls  momentining 
to‘sig‘i deb ataladi. 
Uchinchi  kvant  son  m
ℓ
  –  orbital  magnit  kvant  soni  deyiladi. 
Φ
m
(
ϕ
)  funksiya  z  o‘qi  atrofida  yuguruvchi  de-Broyl  to‘lqinini 
ifodalaydi.  Orbital  magnit  kvant  soni  esa  orbital  impuls  momenti  L 
ning z o‘qiga proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni  
h
l
m
L
z
=
 
Bu  formula  impuls  momentining  z  o‘qiga  mumkin  bo‘lgan 
proyeksiyalarini aniqlaydi. 
Shredinger  to‘lqin  mexanikasida  magnit  kvant  soni  m
ℓ
  ning 
qanday fizik ma’noga ega ekanligini quyidagicha tushunish mumkin. 
Buning uchun impuls momenti operatori kiritiladi, bu operator sferik 
koordinatalar tizimida quyidagi ko‘rinishga ega: 
ϕ
∂
∂
=
i
L
z
h
 
 
 
(6.25) 
Klassik  mexanikasida  zarraning  impuls  momenti  vektor  tenglama 
orqali aniqlanadi 
 
186
p
r
L
r
r
r
⋅
=
 
Bunda 
r
r
 – zarraning koordinata boshiga nisbatan holatini aniqlovchi 
radius-vektor, 
p
r
 – zarraning impulsi, to‘g‘ri burchakli koordinatalar 
tizimida z o‘qidagi komponenta quyidagi tenglama orqali aniqlanadi: 
x
y
z
yP
xP
L
−
=
 
Bunda  P
y
  va  P
x
  lar  impuls 
p
r
  ning  y  va  x  o‘qlari  bo‘ylab 
komponentalari. 
Impulsning 
bu 
komponentalarini 
kvant 
mexanikasidagi tegishli operatorlar bilan almashtiramiz: 




∂
∂
−
∂
∂
=
x
y
y
x
i
L
z
h
 
Bu  tenglama  to‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  tizimida  z  komponenta 
uchun  impuls  momenti  operatorini  ifodalaydi.  Bu  ifodada 
koordinatalarni  o‘zgartirib,  sferik  qutb  koordinatalar  tizimida 
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: 
ϕ
∂
∂
=
i
L
z
h
 
 
 
(6.26) 
Bu  ifoda  impuls  momenti  operatorini  ifodalaydi.  To‘lqin 
funksiyasiga  tatbiq  qilingan  impuls  momenti  operatori  impuls 
momenti  z  komponentalari  holatlarining  tizimini  aniqlaydi  (impuls 
momenti z komponentalarining xususiy qiymatini): 
ψ
ϕ
ψ
z
L
i
=
∂
∂
h
 
Bu tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda: 
h
l
/
iL
z
)
 ,
(
 
ϕ
θ
ψ
r
f
=
 
 
 
(6.27) 
Bunda 
ψ
  funksiya  uzluksiz,  bir  qiymatli  va  azimut  burchagi 
ϕ
 
bo‘yicha 2
π
 davrga ega bo‘lishi kerak. Bu esa 
;
 
h
m
L
z
=
 
,....
3
  
2,
  
1,
 
,
0
±
±
±
=
m
 
 
(6.28) 
bo‘lishini ko‘rsatadi. 
m  doimiylik  orbital  magnit  kvant  soni  m
ℓ
  ni  ifodalaydi.  m
e
  ning 
qiymatlari (6.14a) ifodada keltirilgan, ya’ni  
m
e
=0,1,2,3,…, 
±
ℓ. 

 
187
(6.27)-(6.28)  tenglamalardan  L
z
  ning  xususiy  qiymatlari  bilan 
bog‘liq bo‘lgan xususiy funksiyalar  
ϕ
im
l
Α
=
Φ
  
 
 
 
(6.29) 
formula orqali aniqlanadi. 
Bunda  A  –  doimiylik  bo‘lib,  uning  qiymati  quyidagi  normalash 
shartidan topiladi: 
∫
=
Φ
Φ
π
ϕ
2
0
*
1
d
   
 
 
(6.30) 
Φ
  –  xususiy  funksiyalar  azimutal  tenglamaning  yechimi  sifatida 
(6.14)  ifodada  keltirilgan.  Bu  xususiy  funksiyalar  impuls  orbital 
momenti  z  komponentalarining  mumkin  bo‘lgan  qiymatlariga 
tegishlidir, ya’ni: 
)
(
i
L
+
=
l
l
h
 
 
 
(6.31) 
Bor  nazariyasidagi  cheklashlardan  biri  impuls  momenti  nol 
bo‘lgan  holatning  bo‘lishi  mumkinligi  tan  olinmaydi:  ikkinchi 
cheklashda  esa  L  ning  kvantlanishi  pospulat  sifatida  qaralgan,  lekin 
Shredinger  ta’rifida  L  ning  kvantlanishi  to‘lqin  tenglamasining 
natijasi  va  sferik  garmonik  ko‘rinishidagi  yechim  xossalaridan  kelib 
chiqadi. 
Impuls to‘liq momenti vektorining qutb burchagi 
θ
 faqat quyida-
gi shartni qanoatlantiradigan qiymatlarga ega bo‘lishi mumkin: 
cos
(
1)
(
1)
e
e
z
m
m
L
L
θ =
=
=
+
+
h
h l l
l l
   
(6.32) 
Bu 
esa 
6.3-rasmda 
grafik 
ravishda tasvirlangan. 
Impuls  momentining  katta 
qiymatlarida,  ℓ>>1  bo‘lganda  
2
)
1
(
l
l
l
≈
+
  bo‘ladi.  U  vaqtda 
(6.31) 
tenglama 
quyidagi 
ko‘rinishda keladi: 
lh
≈
L
  
(6.33) 
Bunday 
holda 
impuls 
momentining 
ketma-ket 
qiymatlari  orasidagi  farq  to‘liq 
impuls 
momentiga 
nisbatan