Gamilton funksiyasi Reja: Kirish

Gamilton tenglamalari
1834 y. Gamiltonharakatningkanoniktenglamalarigaboshqachako’rinishberdi, buninguchun funksiyaniLagranjo’zgaruvchilardagivariasiyasiniolamiz:
(1.1)
(1.1)tenglamani o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchini quyidagicha ifodalaymiz:
(1.2)
(1.2) ni(1.1)gaqo’yib, quyidagitengliknihosilqilamiz
(1.3)
tenglikning chap tomonidagi δ belgi ostidagi ifoda quyidagicha belgilaymiz:
(1.4)
Lagranj o’zgaruvchilari o’rniga kanonik o’zgaruvchilarini kiritamiz, natijada H* funksiya tarkibidagi o’zgaruvchilar ham kanonik o’zgaruvchilariga o’tadi, ya’ni
(1.5)
H(q,p,t) funksiyaga Gamilton funksiyasi deyiladi.
bo’lgani uchun H funksiyani quyidagicha yozish mumkin:
(1.6)
bundanq_ini H orqaliifodasinitopishmumkin. Buninguchun H dan vap_i
3
o’zgaruvchilar bo’yicha xosilasini olamiz:

bulganiuchun
(1.7)
Endiikkinchi guruhtenglamalarnitopamiz. Bunnnguchun (1.8) tenglamalarda. Lagranjuzgaruvchilaridankanonikuzgaruvchilargautamiz. Natijada funksiya funksiyagao’tadi, ya’ni

tenglikkaasosan:
(1.9)
Chap tomondagivariasiyaniochibyozamiz

Ni e’tiborga olib, bundan quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:

variasiyalar uzaro bog’liq bo’lmagani uchun oxirgi tenglikdan

Bu tenglamalar (1.2) tenglamalar bilan birgalikda harakatning Gamilton
4
kurinishidagi kanonik tenglamalari sistemasini tashkil etadi:
(1.10)
Ushbu Gamilton tenglamalari birinchi tartibli oddiy tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Ulardan va o’zgaruvchilar vaqtning funksiyasi sifatida topiladi.
Dinamik sistema uchun (1.4) tenglama urinli buladi, agar sistema konservatav bulsa, ya’ni sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bulsa, (1.10) tenglama ham shu holda o’rinli bo’ladi. Nokonservativsistemauchun ham Gamiltontenglamalariniosonlikchaxosilqilishmumkin.
Faraz qilaylik, dinamik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar U potensialga ega bo’lgan konservativ kuchlar va nokonservativ kuchlar bo’lsin. Bunday sistemaning haraka ttenglamalari quyidagicha bo’ladi:

yoki

Bu yerda
L=T+U,

Ma’lumki,

5
Demak, tenglamalargao’xshashtenglamalarnihosilqilamiz, ya’ni

(1.9) tenglik quyidagicha bo’ladi:

Bundan (1.10) tenglamalarni hosil qilgan usul bilan quyidagi tenglamalarni keltirib chiqaramiz:
(1.11)
U holda (1.11) tenglamalar nokonservativ sistema uchun Gamilton tenglamalarini ifodalaydi. Shuni takidlab utish lozimki, Gamilton tenglamalari faqad gelonomli sistemalar uchun o’rinlidir.

6