Gamilton funksiyasi Reja: Kirish

Gamilton funksiyasi
Gamilton funksiyasi Lagranj funksiyasi bilan uzaro bog’liq. Bu bog’lanish quyidagicha bo’ladi:

funksiya tarkibiga oshkor ravishda kirmagan 00 koordinatalarga siklik koordinatalar deyiladi.
Dinamik sistema uchun
L=L₂+ L₁+ L₀
Eyler teoremasiga asosan

Natijada
(1.12)
bu yerda funksiya, funksizdaga larni lar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan funksiya
L=T+U=T₂+ T₁+ T₀
bundan
L₂=T₂,L₀=T₀+U
Natijada
H(q,p,t)= (1.13)
Agar kiiyetik energiya tezlikning ikkinchi darajali bir jinsli funksiyasi bo’lsa, ya’ni

7

T₀=0

bundan
(1.14)
Bu yerda -p_i umumlashgan impulslar orqali ifodalangan to’la mexanik energiyadan iborat.

Birinchi integrallar

(1.14) kanonik tenglamalar sistemasining birinchi integrali deb shunday funksiyaga aytnladiki, bu funksiya q_i va p_i larning barcha qiymatlarida uzgarmas bo’lib qoladi va bu uzgarmaslar (1.14) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi, yoki boshqacha aytganda (1.14) tenglamalar sistemasini birinchi integrali bulsa,

miqdor butun harakat davomida, har qanday boshlang’ich shartda ham uzgarmasligicha koladi.
Agar f=const (1.13) tenglamalar sistemasiniig birinchi integrali bo’lsa, F(f)=const ham shu tenglamalar sistemasining birinchi integrali buladi.
(1..14) sistemaning integrallash masalasi q_i va p_i o’zgaruvchilarni, vaktniig va 2n ta o’zgarmaslarning funksiyasi sifatida topishdan iborat.
8
Agar (1.14) sistemani o’zaro bog’liqmras 2n ta birinchi integrallari
(1.15)
aniqlangan bulsa, (ya’ni f funksiyalardan birontasi ham qolganlarining funksiyasi ko’rinishida ifodalanmasin).
(1.14) sistema, integrallanadi, chunki (1.18) 2n ta tenglamadan q_i va p_i larning, vaqt t va 2n ta uzgarmaslarining funksiyasi sifatida topish mumkin. Haqiqatan ham f funksiyalar uzaro bog’liq, bo’lmagani uchun Yakobi determinanti

Ba’zi xususiy hollarrda (1.14) sistema to’g’ridan birinchi integrallarni beradi.
1) H funksiya vaqtdan oshkor bog’lik; emas, ya’ni
Buni isbotlash: uchun H dan vaqt bo’yicha hosila. olamiz, ya’ni

Bu tenglikning o’ng tomonidagi q_i va p_i larni: (1.14) dagi ifodalari bilan almashtirsak, ikkinchi kushiluvchi nolta aylanadi, natijada
(1.15)
bulgani uchun bundan
(1.16)
h -- uzgarmas, demak birinchi integral hosil bo’ladi. H funksiyaning (1.16) ifodasini e’tiborga olsak, (1.15) energiyaning umumlashgan integralini beradi
9
Dinamik sistema uchun bu integral (1.16’) ga asosanquyidagicha umumlashtiriladi:

Agar T = T₂ bulsa,

bu xolda ho’zgarmas energiya o’zgarmasi bo’ladi.
2) Ba’zi koordinatalar H funksiyaning tartibiga oshkor ravishda kirmasin, ya’ni siklik koordinatalar bulsin. Faraz qilaylik, birinchi k ta koordinatalar siklik bulsnn (K

bundayholda

(i=1,2,…k)
bulib (1.14) Gamilton tenglamalari k ta birinchi integralni bberadi

bu yerda 00 lar uzgarmas mikdorlar. Bu integrallarga silikintegrallar deyiladi va ularga mos siklik impulslar uzgarmas bo’ladi.
Faraz qilaylik, xamma koordinatalar siklik koordinatalar bulsin, ya’ni H funksiya faqat impulslar va vaqtning funksiyasi bulsin

u holda (1.14) tenglamalardan
10

larni olamiz, lar uzgarmaslar.
Agar bulsa, ya’ni H funksiya vaqtdan oshkor bog’liq bo’lmasa, u holda funksiya va (1.14) tenglamalarning birinchi guruhi qolgan n ta integralni beradi. Haqiqatdan ham

ya’ni q_i koordinatalar vaktning chiziqli funksiyasi buladi.
Gamiltonfunksiyasiquyidagichaifodalanadi:

va umumlashgankoordinatalarsiklikkoordinatalarbo’lganiuchun