Gamilton funksiyasi Reja: Kirish

Bundan . Bunga asosan:

Endi kanonik tenglamalarni tuzamiz

Gamilton funksiyasi t ga oshkor bog’liq bulmagani uchun berilgan sistema energiya integraliga ega buladi
11

H=T+ =h
3. Potensialli kuchlar maydonida harakatlanuvchi m massali nukta uchun Gamilton tenglamalarini tuzing. Bu holda nuqtaning qolati uchta o’zaro bog’liq bulmagan x,y,z koordinatalar bilan aniqlanadi. Nuqta kinetik energiyasi

Potensial energayasi U(x,y,z) ga teng. To’la mexanik energiyasi quyidagiga teng buladi:
(a)
Gamilton funksiyasini topish uchun Ye dagi tezliklar o’rniga umumlashgan impulslarni kiritish kerk.

Bulardan
(b)
(b) ni (a) gakuyamiz, natijada

EndiGamiltontenglamalarinituzamiz

12
yoki



Gamilton – Ostrogratskiy prinsipi
to’g’ri yo’l uchun Gamilton bo’yicha ta’sirning variatsiyasi nolga teng, ya’ni
(1.17)
bu to’g’ri chiziqli yo’lda S ta’sir statsionar qiymatga ega bo’lishini bildiradi.
Erkinlik darajasi r ta bo’lgan konservativ golonomli sistemaning harakat tenglamalari (Lagranj tenglamalari) quyidagicha bo’ladi:
(1.18)
Bu tenglamalarninghar ikkalatomoni ga ko’paytirib, ibo’yicha yig’amiz
(1.19)
Izoxronvariatsiyabilanvaqt bo’yicha differensiallashkomutativlikxossasigaega, ya’ni
(1.20)
haqiqatdan ham
13

variatsiyaningizoxronligigaasosan:

buikkitenglikdan (1.18)ningo’rinliligikelibchiqadi. (1.18) ga asosan:

olingan ifodani (14.6)ga qo’yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz
(1.21)


bo’lgani uchun

bunga asosan

bu tenglikni har ikala tomonini oraliqda integrallaymiz:

shartlarni e’tiborga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

14
Variasiya izoxron bo’lgani uchun
(1.22)
EndiGamilton-Ostragradskiyprinsipidanharakattenglamalarinikeltiribchiqaramiz.
Gamiltonprinsipigaasosan:

variasiani kengaytirib yozamiz
(2.1)
izoxronlik xossasini qo’llab (2.1) tenglikdan ikkinchi qo’shuluvchisini bo’laklab integrallaymiz:

buyerda ga asosan bo’ladi.
Olingan ifodani tenglikka qo’yamiz va natijada quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(2.2)
integrallash yo’li ixtiyoriy bo’lgani uchun, integral ostidagi ifoda 0 ga ten bo’lgandagina, ushbu integral nolga teng bo’ladi. Haqiqiy harakat uchun variatsiyalar o’zaro bog’liq emasligi shartidan:

15
tengldamalar hosil bo’ladi.
Gamilton-Ostrogradskiy prinsipidan Gamilton tenglamasini keltirib chiqarish mumkin. Gamilton funksiyasi , bundan , buyerda H=H( q_i,p_i). (2.1) shartga asosan:
;
va

bo’lgani uchun, (15.9) munosabat quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(2.3)

bunda

munosabat etiborga olingan.q_i, p_i o’zgaruvchilar H ning ifodasiga o’zaro bog’liqmas o’zgaruvchilar sifatida kirgani bilan (2.3) integralni hisoblashda variatsiyalar o’zaro

munosabatlarbilanbog’langan. Demak

16
Lagranjtenglamalarigaasosan:

Bulardanquyidagitengliklarkelibchiqadi:

Shundayqilib, Gamiltonningkanoniktenglamalariniquyidagichayozamiz:

Endi nokonservativ nogolonomli sistemani qaraymiz.
Bunday sistema uchun Lagranj tenglamalari quyidagi ko’rinishda bo’ladi

Bu tenglikning harikkala tomoni larga ko’paytirib bo’yicha yig’amiz:
(2.4)

agar
va

Larni e’tiborga olib, (2.4) niquyidagi ko’rinishda yozib olamiz

17
Bui fodaning ikkala tomoniga ko’paytiramiz va [t₁,t₂] orqali integrallab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(2.5)
Chetlangan yo’lning chetlari mahkamlanganligidan .
natija ham Gamilton-Ostrogratskiy prinsipidir, lekin bu variatsion prinsipni ifodalamaydi. Tasvirlovchi nuqtaning haqiqiy harakatida yuqoridagi integralning nolga tengligini tasdiqlaydi. Haqiqatdan ham, umumlashgan kuchlardan potensialli kuchlarni ajratamiz, ya’ni , bu yerda potensial energiya, nokonservativ kuchlarga mos umumlashgan kuchlar bo’lgani uchun, (2.6) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi.

buyerda . L=T- va vaqt variatsiyalanmagani uchun
yoki (2.7)
tenglik miqdor haqiqiy harakatda nolga teng bo’lganini tasdiqlaydi, funksiyaning o’zi mavjud emas.
18
Xulosa

Men analitik mexanika fanidan ” Gamilton funksiyalari ” mavzusida kurs ishi tayyorladim va shuni angladimki Gamilton funksiyalar juda qiziqarli va masalarni ishlashda juda qulay va sodda ekan. Gamilton funksiyasi t ga oshkor bog’liq bulmagani uchun berilgan sistema energiya integraliga ega buladi.Ushbu Gamilton tenglamalari birinchi tartibli oddaytenglamalar sistemasini ifodalaydi. Ulardan va o’zgaruvchilar vaqtning funksiyasi sifatida topiladi.Dinamik sistema uchun tenglama urinli buladi, agar sistema konservatav bulsa, ya’ni sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bulsa, tenglama ham shu holda o’rinli bo’ladi. Potensialli kuchlar maydonida harakatlanuvchi m massali nukta uchun Gamilton tenglamalarini tuzing. Bu holda nuqtaning qolati uchta o’zaro bog’liq bulmagan x,y,z koordinatalar bilan aniqlanadi. Nokonservativ Sistema uchun ham Gamilton tenglamalarini osonlikcha xosil qilish mumkin.

19