G'arbiy Bengaliya, Hindiston Matematika professori

---

G'arbiy Bengaliya, Hindiston
Matematika professori
Burdvan universiteti
Elektron pochta: [e-mail]
BY
Prof. M. Saha
7 -BOB
Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
Machine Translated by Google

---

Kirish va maqsadlar
ikki bosqichda erishish mumkin: birinchidan, bir pastki fazoda chiziqli funksionalni belgilaydi
chegaralangan chiziqli funksiyalar. Han Banach teoremasi kafolat beradi
2
Funktsional - diapazoni haqiqiy R yoki murakkab tekislikda joylashgan operator
kerakli xususiyatlarni tekshirish oson bo'lgan normalangan chiziqli bo'shliq; ikkinchi, bir
har qanday Banax fazosining (yoki to‘liq normalangan chiziqli fazoning) qo‘sh fazosi sufidan iborat
C. Funktsional tahlil dastlab funksional tahlil edi. Funktsionallar operativ
har qanday funktsiyani kengaytirish mumkinligini aytadigan kengaytma teoremasiga murojaat qiladi
Juda ko'p cheklangan chiziqli funktsiyalar. Bu xususiyat ma'nosida tushuniladi
operatorlarning oldingi ta'riflari funksionallar uchun ham qo'llanilishi uchun. Biz
kerakli xususiyatlarni saqlab qolgan butun makonga.
ko'pchilik bo'lgan normalangan chiziqli fazolar bo'yicha "Han Banach teoremasi" teoremasidan keyin
Ayniqsa, quyidagi ta'riflar kerak bo'ladi, chunki funktsiyalarning aksariyati bo'lishi kerak
Ushbu bo'lim uchta modulga bo'lingan:
ilovalar bog'liq va, aslida bu ishlab chiqilgan g'oyalarda katta rol o'ynaydi
ko'rib chiqiladigan chiziqli va chegaralangan bo'ladi.
1-modulda chegaralangan chiziqli funksiyalarning ba'zi asosiy natijalari ko'rib chiqiladi.
funktsional tahlil.
Ushbu bobda biz nol bo'lmagan chegaralangan chiziqli funksiyalarning mavjudligini muhokama qilamiz
2-modul asosan Han Banach teoremalari deb ataladigan kengaytma teoremasiga bag'ishlangan.
3-modul Han Banach teoremasining ba'zi ilovalari bilan bog'langan
ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan normalangan chiziqli fazo. Aslida, normalangan chiziqli bilan shug'ullanayotganda
ixtiyoriy real chiziqli fazodagi chiziqli funksionallar uchun bu teoremani qo'llaymiz
normalangan chiziqli fazo.
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
bo'shliqlar uchun ko'pincha ma'lum xususiyatlarga ega chiziqli funktsiyalarni qurish kerak bo'ladi. Bu
uchun Han Banach teoremasi deb ataladigan asosiy kengaytma teoremasini isbotlash
Machine Translated by Google

---

Ta'rif 7.1.1: X, F skalerlar maydoni ustidagi chiziqli fazo bo'lsin va Y =
(ii) ||f|| = sup ||x||=1
3
F(R/C). Keyin, T : X ÿ Y bilan aniqlanadi
|f(x)|
(iii) ||f|| = sup ||x|| ||x||ÿ=th
(i) T(x + y) = T(x) + T(y), ÿ x, y ÿ X (qo‘shimcha xossasi) va (ii) T(ax)
= aT(x) ÿ x ÿ X, ÿ a ÿ F (bir xillik xususiyati)
|f(x)|
X dagi chiziqli funktsiyani T deb ataymiz. Biz odatda chiziqli funksionalni bilan belgilaymiz
va biz |f(x)| yozamiz ÿ ||f|| ||x||, x ÿ X.
f, g, h, · · · . Shunday qilib, chiziqli operatsiyalar uchun barcha xususiyatlar chiziqli funktsiyalarga ham tegishli.
Kuzatish: X F = R maydon ustidagi normalangan chiziqli fazo, f esa chiziqli bo'lsin
X dagi nol funksionallik D bilan belgilanadi, ya'ni Dx = skalar maydonning nol elementi. Mayli,
X da funktsional. Keyin,
X R ustidagi normalangan chiziqli fazo va f X da chegaralangan chiziqli funksional bo‘lsin. Keyin,
(i) X dagi qo'shimcha funktsiya X ning barcha nuqtalarida uzluksiz bo'ladi, agar u doimiy bo'lsa
|f(x)|
X ning bir nuqtasi.
(i) ||f|| = sup ||x||ÿ1
(ii) X dagi qo'shimcha uzluksiz funksional f bir jinsli.
Modul-1: Chiziqli funktsional
Machine Translated by Google

---

ÿ1
1
1
1
1
2||x||
Yana f(b + y) = f(b) + f(y) = 1 + (ÿ1) = 0.
Isbot: f, uzluksiz bo'lsin. Endi,
f nolga teng bo'lmagan funksional bo'lsin. Biroq, X \ ker(f) bo'sh emas va X da ochiq.
th - X ning nol vektori.
X da f nol funksional bo‘lsin, ya’ni f(x) = 0, ÿ x ÿ X bo‘lsin.
Keling, V = {x ÿ X : |f(x)| < 1}. Endi biz Br(th) ÿ V ni isbotlaymiz
Shunday qilib, y ÿ Br(th).
7.1.1 teorema: X, F maydon ustidagi normalangan chiziqli fazo bo‘lsin, f : X ÿ F a bo‘lsin.
4
y = ÿ |f(x)| bo‘lsin
· rx = r/2 < r.
{0}
Shunday qilib, f(b) = 1 va shuning uchun b ÿ X \ ker(f).
x ÿ= th shunday bo‘lsinki, x ÿ Br(th). Shunday qilib ||x|| < r.
ker f = { x ÿ X : f(x) = 0}
a ÿ X \ ker f bo'lsin. Demak, f(a) ÿ= 0.
Keling, x ÿ Br(th). Iloji bo'lsa, x /ÿ V ga ruxsat bering. Shunday qilib |f(x)| ÿ 1.
Demak, b + y ÿ ker f. Demak, b + y ÿ (ker f) ÿ Br(b), bu Br(b) ÿ X \ ker f ekanligiga ziddir . Shunday
qilib, Br (th) ÿ V .
,
Endi, ||b + y - b|| = ||y|| < r, ya'ni b + y ÿ Br(b).
X da chiziqli funksional. U holda f uzluksiz, agar X da ker(f) yopilsa.
Demak, f bu holda uzluksiz.
(iii) X dagi qo'shimcha funksional f, agar u chegaralangan bo'lsa, uzluksizdir.
Yana X da ker f yopildi.
X \ ker f ochiq ekan, Br(b) ÿ X \ ker f bo'ladigan ar > 0 mavjud .
· ||x|| ÿ ||x|| < r.
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
· x. Shunday qilib, f(y) = -1. Endi ||y|| = |f(x)|
= X dagi yopiq to'plam.
· a.
Endi,
Keling, b = f(a)
= f
Machine Translated by Google

---

aÿtÿb
b
aÿtÿb
a
a
a
b
n
b
|f(x)| = |xa| ÿ ||x|| ||a||, ÿ x ÿ R
|x(t)|(b - a) ÿ ||x||.(b - a)
5
|f(x)| = ÿ
= b - a. Shuning uchun ||f|| = b - a.
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
7.1.2-misol: X = c[a, b], |x(t)| ustidagi barcha haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalar fazosi bo'lsin.
f : X ÿ R ni f(x) = orqali aniqlang
=ÿ
Yechish: Shubhasiz f chiziqli funksional va u Koshi tufayli chegaralangan.
=ÿ f chegaralangan va ||f|| ÿ b - a.
Demak, f chegaralangan bo‘lib, f uzluksiz ekanligini bildiradi.
Lekin ||f|| ÿ
Yechish: f chiziqli ekanligini osongina tekshirish mumkin. Bizda ham bor
r
Bundan tashqari, bizda bor
Shuning uchun
=ÿ
.
x(t) dt, x ÿ X, t ÿ [a, b]. U holda f - ||f|| bilan chegaralangan chiziqli funksional = b - a.
Shunday qilib,
rx 2||x||
2
Shvarts tengsizligi (9-bob, 1-modul va o'z-o'zini baholash mashqlariga qarang (1-bob)) bizda
mavjud
f (rx
2||x|||f(x)| < 1 =ÿ |f(x)| <
[a, b] ||x|| tomonidan belgilangan norma bilan = sup
=
x(t) dt ÿ sup
|f(x0)| = ÿ
2||x||f(x) < 1
7.1.1-misol: Rn odatiy normaga ega haqiqiy qiymatli chiziqli fazo bo'lsin (3.3.1-misolga qarang)
va a = (a1, a2, · · · , an) Rn da nolga teng bo'lmagan o'zgarmas vektor bo'lsin . f : Rn ÿ R ni f(x)
= xa orqali aniqlang, bu erda x = (p1, l2, · · · , n) ÿ Rn va xa x
va a ning odatiy skalyar ko'paytmasini bildiradi. U holda f Rn va ||f|| da cheklangan chiziqli
funksionaldir = ||a||.
2||x||
r
||f|| = sup { |f(x)| : x ÿ X, ||x|| ÿ 1 } ÿ ||a|| ||a||2 |f(a)| =
||a|| ||a|| ||a|| Shuning uchun ||
f|| = ||a||.
Boshqa tomondan, agar x = x0 bo'lsa, bu erda x0(t) = 1 ÿ t ÿ [a, b]. Keyin ||x0|| = 1 va |f(x0)| dt
= b - a va shunga o'xshash ||f|| ÿ ||x0||
) < 1
||x||.
ÿ
ÿ Br(th) ÿ V .
r
Machine Translated by Google

---

i=1
ei
'
i=1
i
y ÿÿy
f(x)
f(x0)
x = (l1, p2, · · · , n, · · ·) ÿ lÿ.
i=1
'
aÿa'
f(x)
f(x0)
'
'
,
'
7.1.2 teorema: X normalangan chiziqli fazo, f esa X da chiziqli funksional bo‘lsin.
Yagonalik uchun x = y + ax0 va x = y bo'lsin
Asosiy teoremaning isboti: ker(f) yopiq emas deb faraz qilaylik. Keyin x0 ÿ/ ker(f) nuqta mavjud bo'lib, x0
ker(f) ning chegara nuqtasi bo'ladi. ker(f) X ning pastki fazosi bo'lgani uchun ker(f) ham X ning pastki
fazosidir. Shuning uchun ker(f) x0 va ker(f) ning chiziqli oralig'ini o'z ichiga oladi. Lemma 7.1.2 dan
foydalanib, X ÿ ker(f) ni olamiz. Demak, ker(f) = X.
' a
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
qachon x ÿ X. Qabul qiling
ei = (0, 0, · · · · · ·), i = 1, 2, · · · , 1, 0, 1- o‘rin
Shunday qilib, har bir natural n soni uchun |f(xn)| ekanligini ko'ramiz = n||xn||.
ÿ ker(f), biznikiga zid
6
ei || = 1 va f(xn) = n.
Isbot: Sice x0 ÿ X \ ker(f), f(x0) ÿ= 0. a = x0 bo‘lsin. Keyin x = y +
ax0. Aniq f(y) = 0. Demak y ÿ ker(f).
. Agar a ÿ= a bo‘lsa
U holda F cheklanmagan chiziqli funksionaldir.
U holda ker(f) to'plam X da zich yoki yopiq bo'ladi.
y = x ÿ
Xulosa 7.1.1: X normalangan chiziqli fazo, f esa chiziqli funksional bo‘lsin.
Lemma 7.1.1: X chiziqli fazoda f nolga teng bo'lmagan chiziqli funksional bo'lsin.
baÿzi y uchun +a ÿx0
faraz x0 ÿ X \ ker(f). Bu lemmaning isbotini to'ldiradi.
7.1.3-misol (Cheklanmagan chiziqli funksional): X = lÿ normasi ||x|| tomonidan belgilangan bo'lsin. = sup |
pi |. x = (l1, p2, · · · , n, · · ·) ÿ lÿ, l s skayarlari . f : X ÿ R ni belgilang
Har bir n natural soni uchun e'tibor bering ||xn|| = ||ÿn
Shunday qilib, ||f|| = ÿ va demak f lÿ da cheklanmagan chiziqli funksionaldir .
f(x) = ÿÿ
. Agar a = a bo'lsa
ÿ ker(f) va ba'zi skalar
keyin x0 =
Yechish: F chiziqli ekanligi aniq. {xn} ÿ lÿ ketma-ketlikni tanlang, bunda xn = ÿn
.
x0 ÿ X \ ker(f). U holda har qanday x ÿ X yagona tarzda x = y + ax0 ko'rinishda ifodalanishi mumkin, bu
erda y ÿ ker(f) va a bir xil skalardir.
keyin y = y
i ,
Biz birinchi navbatda lemmani bayon qilamiz va isbotlaymiz.
X. U holda f chegaralangan (uzluksiz) bo‘ladi, agar va faqat X da ker(f) zich bo‘lmasa.
qayerda
Machine Translated by Google

---

Demak, a ÿ c0 ÿ b bo'ladigan haqiqiy c0 mavjud. As, x0 ÿ/ M. U holda, x ÿ N bo'ladi
Isbot: Undan 7.1.1 teorema va 7.1.2 teorema kelib chiqadi.
Ta'rif 7.1.2: X, K maydoni ustidagi chiziqli fazo, M esa pastki fazo bo'lsin.
Agar p uchun oxirgi ikkita (ii) va (iii) xossalar qanoatlansa, u holda p subchiziqli deyiladi.
y1 ni o‘zgarmas va y2 ni M da o‘zgartirishga ruxsat berilsa, biz {ÿp(ÿy2 ÿ x0 ) ÿ f(y2)}
X da funktsional.
ning X va f : M ÿ K funksiya bo‘lsin. U holda F : X ÿ K ning kengaytmasi deyiladi
Lemma 7.1.2: M chiziqli fazoning R ustidagi X to'g'ri pastki fazosi bo'lsin,
yuqori chegaraga ega va demak, eng kichik yuqori chegaraga ega.
{ÿp(ÿy2 ÿ x0) ÿ f(y2)}.
x0 ÿ X/M let, N = [M ÿ {x0}]. Faraz qilaylik, f M da shunday chiziqli funksiya bo‘lsinki, f(x) ÿ p(x) ÿ x ÿ
M (p : X ÿ R pastki chiziqli funksional bo‘lsin). U holda f ni F(x) ÿ p(x) ÿ x ÿ N bo‘ladigan chiziqli
funksional F : N ÿ R gacha kengaytirish mumkin.
f agar f(x) = F(x) ÿ x ÿ M. (f F ning M ustidagi cheklovi deyiladi va uni fM = FX/M deb belgilaymiz .
a = sup y2ÿM
bo'lsin
7
{p(y1 +x0)ÿ
Ta'rif 7.1.3: X, F = R maydon ustidagi chiziqli bo'shliq bo'lsin va p : X ÿ R bo'lsin.
Isbot: M dagi istalgan ikkita nuqta , y1, y2 bo‘lsin. Demak, y1 ÿ y2 ÿ M.
funktsional. Agar quyidagilar bajarilsa, p qavariq funksional deyiladi:
(i) p(x) ÿ 0 ÿ x ÿ X
Demak, f(y1 ÿ y2) ÿ p(y1 ÿ y0)
Xuddi shunday, y2 sobit va y1 ning M ga o'zgarishiga ruxsat berish, b = inf
f(y1) ÿ f(y2) ÿ p(y1 + x0 ÿ y2 ÿ x0)
(ii) p(x + y) ÿ p(x) + p(y) ÿ x, y ÿ X
ÿ p(y1 + x0) + p(ÿy2 ÿ x0)
f(y1)}. Demak, a ÿ b.
=ÿ ÿ p(ÿy2 ÿ x0) ÿ f(y2) ÿ p(y1 + x0) ÿ f(y1).
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
(iii)p(ax) = ap(x) ÿ x ÿ X, ÿ a ÿ 0
y1ÿM
Machine Translated by Google

---

x = y + ax0 shaklida ifodalanadi , bu erda y ÿ M yagona aniqlangan element va a -
yagona aniqlangan real skaler. F : N ÿ R by, F(x) = f(y)+ac0 funksiyani ko‘rib chiqaylik
f(y)
=ÿ p(y + ax0) + f(ÿy) ÿ ac0
a
bu yerda x = y + ax0.
=ÿ ac0 ÿ p(y + ax0) ÿ f(y)
=ÿ p(y + ax0) ÿ ac0 + f(y)
=ÿ p(x) ÿ F(x) ÿ x ÿ N.
=ÿ ac0 + f(y) ÿ p(y + ax0).
Demak, F N ustida chiziqli funksionaldir. Endi F(y) = f(y), ÿ y ÿ M. Demak, F kengaytma.
Bu Lemmani isbotlaydi.
8
f dan.
=ÿ F(x) ÿ p(x) ÿ x ÿ N.
Endi 1-holat: a = 0, x = y ÿ M.
ÿ F(x) = F(y) = f(y) ÿ p(y) = p(x).
3-holat: a < 0, a ÿ c0 bo‘lsin.
=ÿ ÿ p(ÿy ÿ x0) ÿ f(y) ÿ c0 ÿ y ÿ M. =ÿ p(ÿy ÿ
x0) + f(y) ÿ ÿc0.
2-holat: Bizda a > 0 bo‘lsin, c0 ÿ b ÿ p(y + x0) ÿ f(y) ÿ y ÿ M. y ni y/a bilan almashtiring.
y ni y/a ga almashtirsak, olamiz,
p ( (ÿy/a) ÿ x0 ) + f(y/a) ÿ ÿc0 =ÿ
(ÿa)p ( (ÿy/a) ÿ x0 ) + (ÿa)f(y/a) ÿ ac0 (- a > 0 dan beri)
7-bob Cheklangan chiziqli funksiyalar uchun asosiy teoremalar
Bizda c0 ÿ p ( (y/a) + x0 ) - f(y/a) ÿ p ( y + ax0 a ) -
Machine Translated by Google