Garmonik funksiyalar

Garmonik funksiya tushunchsi.

Faraz qilaylik,

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
funksiya G sohada analitik bo‘lsin. U holda hosila olish formulasiga asosan:

∂x

∂x
f^′(z) = ^∂u + i^∂v
∂v ∂u

∂y

∂y
= − i
(1)

Teorema. Koshi tipidagi integral bilan aniqlangan Φ(z) funksiya Γ chiziqda yotmaydigan, har qanday chekli z nuqtada analitik bo‘ladi. Shun- day nuqtalarda funksiya barcha yuqori tartibli hosilalarga ega bo‘lib, ular

∫
Φ⁽ⁿ⁾(z) = ^n!
2πi
Γ
ϕ(ζ)d(ζ) (ζ − z)ⁿ⁺¹

formula orqali ifoda qilinadi.
Yuqoridagi teoremadan ma’lumki G sohada analitik bo‘lgan f (z) funksiya barcha yuqori tartibli uzluksiz hosilalarga ega. (1) dan yana bir marta hosila olinsa,
_′′ ∂²u ∂²v ∂²v ∂²u


f (z) = + i = − − i (2)
∂x² ∂x² ∂y² ∂y²
kelib chiqadi. Ilgari aytilgan sababga muvofiq hamma tartibli

∂u ∂²u

_∂x , _∂x2 , ...

xususiy hosilalar ham mavjud va uzluksizdir. (2) ning ikki tomonidagi kompleks miqdorlar o‘zaro teng bo‘lgani uchun ularning haqiqiy qismlari o‘zaro va mavhum qismlari o‘zaro teng bo‘ladi:

∂²u
∂²u
∂²v
∂²v

_∂x2 = −_∂y2 va
∂x^{2 = −}∂y^{2 .}

O‘ng tomondagi hadlarni chapga o‘tkazib quyidagicha yozish mumkin:

∂²u ∂²u
∂²v ∂²v

∆u =
_∂x2 + _∂y2 = 0; ∆v =
_∂x2 + _∂y2 = 0 . (3)

Bularning ikkalasi ham bir tipdagi differensial tenglamalardan iborat bo‘lgani uchun bittasini, masalan, (3) ni olsak kifoya. Demak, u(x, y) va v(x, y) funksiyalarining ikkalasi ham (3) tenglamani qanoatlantiradi. Yuqoridagi

(3) xususiy hosilali ikkinchi tartibli differensial tenglama bo‘lib, Laplas tenglamasi, ∆ ni esa Laplasning differensial operatori deb ataladi. Bayon etilgan mana shu fikrlarimizdan garmonik funksiya tushunchasi kelib chiqadi.

Ta’rif. Agar haqiqiy u(x, y) funksiya G sohada birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lib, (3) Lapas tenglamasini qanoatantirsa, u(x, y) funksiya G sohada garmonik funksiya deyiladi.
Mana shu ta’rifdan va yuqoridagi mulohazalarimizdan ko‘rinadiki, biz quyidagi teoremani isbot qildik.
Teorema. Berilgan G sohada analitik bo‘lgan f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
funksiyaning haqiqiy ba mavhum qismlari shu sohada garmonik funksiyalardir.
1-misol. u = ϕ(ax + by) ko‘rinishiga ega bo‘lgan garmonik funksiya mavjudmi, agar mavjud bo‘lsa, o‘sha topilsin (a,b-haqiqiy o‘zgarmas son- lar)
Dastlab z = ax + by deb belgilab olamiz. U holda:

∂u
u = ϕ(z);
= ϕ^′ (z) · ^∂z

= aϕ^′(z);

∂²u

_′′ ∂z

∂x

2 ′′

^x ∂x
∂u _′ ∂z _′

_∂x2 = aϕ
(z) = a ϕ
∂x
(z);
= ϕ (z) = bϕ (z);
∂y ∂y

∂²u
_∂y2 = bϕ^′′
∂z

2
(z) = b
∂y
_ϕ′′

(z),

chunki ϕ(z)-bir argumentli murakkab funksiya va

∂z ∂
=
∂x ∂x

(ax + by) = a,

∂z ∂
=
∂y ∂y

(ax + by) = b.

Endi yuqoridagi ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning qiymatlarini (3) Laplas tenglamasiga qo‘yamiz. U holda
∆u ≡ (a² + b²)ϕ^′′(z) = 0
bo‘lib, a, b lar noldan farqli bo‘lgani uchun ϕ^′′(z) = 0 bo‘ladi. So‘nggi tenglamani yechsak,
ϕ^′(z) = C, ϕ(z) = Cz + B.
Endi, z o‘rniga qiymati qo‘yilsa,
ϕ(ax + by) = C(ax + by) + B
hosil bo‘ladi. Demak, izlangan garmonik funksiyaning ko‘rinishi shundan

iborat ekan.
2-misol. u = ϕ(
y
) ko‘rinishiga ega bo‘lgan garmonik funksiya mavjud
x

bo‘lsa, o‘sha topilsin.
y

∂x
z = bo‘lsin, u holda u = ϕ(z). x

∂x

∂x
^∂u = ϕ^′(z) ^∂z
= ϕ^′(z) ^∂
y y

′

x

_x2
( ) = − ϕ (z);

∂²u


^y2 ′′

2y _′

∂x^{2 =}
_x4 ϕ
(z) + _x3 ϕ (z);

∂u _′ ∂z _′ ∂ y 1 _′



∂²u


¹ ′′

= ϕ (z) = ϕ (z)
∂y ∂y ∂y
( ) =
x
ϕ (z);
x
∂y^{2 =}
_x2 ϕ
(z).

Bularni (3) ga qo‘yamiz, u holda ba’zi soddalashtirishlardan keyin ushbu

(x² + y²)ϕ^′′(z) + 2xyϕ^′(z) = 0

oddiy differensial tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani yechish uchun
ϕ^′(z) = ψ(z) deb belgilab olamiz. Demak,
(x² + y²)ψ^′(z) + 2xyψ(z) = 0

yoki
y

y
ψ^′ 2xy ² _x

y
z = bo‘lgani sababli
x
_ψ = −_{x2 + y2} = −
;
1 + ( )²
x

dψ zdz

Bundan ya’ni
_ψ = −2_{1 + z2} .

−
lnψ = ln(1 + z²) + lnC = ln ^C ,
1 + z²

Endi,
C
ψ = _{1 + z2} .

tenglamadan

hosil bo‘ladi.

ψ = ϕ^′(z) = ^C
1 + z²



∫ ·
ϕ(z) = C ^dz + B = C arctgz + B
1 + z²

Shunday qilib, izlayotgan garmonik funksiya ushbu
y y
u = ϕ(_x) = C · arctg_x + B
ko‘rinishga ega ekan, bunda C, B - ixriyoriy o‘zgarmas haqiqiy sonlardir.

Qo‘shma garmonik funksiyalar.

Faraz qilaylik u(x, y) va v(x, y) funksiyalar G sohada garmonik bo‘lsa ham u(x, y) + iv(x, y) funksiya G sohada analitik bo‘lmay qolishi mumkin. Agar u(x, y) funksiya shu sohada garmonik bo‘lsa, u+iv ni analitik funksiyaga aylantiradigan v(x, y) garmonik funksiyani topish uchun quyidagi

∂u ∂v ∂u ∂v

= , = −
∂x ∂y ∂y ∂x

Dalamber-Eyler shartlaridan foydalanish kerak. Mana shu shartlar bilan bog‘langan u(x, y) va v(x, y) lar o‘zaro qo‘shma garmonik funksiyalar deyiladi.

Berilgan u(x, y) garmonik funksiyaga qo‘shma garmonik funksiyani bir necha usul bilan topish mumkin.
Birinchi usul. Dalamber-Eyler shartidan:

∂v ∂v ∂u ∂u

_∂xdx + _∂ydy = −_∂ydx + _∂xdy. (4)
Matematik kursidan ma’lumki,


M (x, y)dx + N (x, y)dy

ifoda biror Φ(x, y) funksiyaning to‘la differensialidan iborat bo‘lishi uchun

∂M ∂N
=
∂y ∂x
(5)

tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Demak, (5) tenglik o‘rinli bo‘lsa,

dΦ(x, y) = Mdx + Ndy. (6)

Mana shunga asoslanib, (4) ning o‘ng tomonini to‘la differensial ekanligini tekshiraylik.

∂ ∂u
∂²u
∂ ∂u
∂²u

_∂y (−_∂y ) = −_∂y2 va
( ) =
∂x ∂x
∂x^{2 .}

u(x, y) funksiya garmonik bo‘lgani uchun oxirgi ikki tenglikning o‘ng tomon- lari o‘zaro tengdir. Shunga asosan (4) ni

∂u ∂u

dv(x, y) = −_∂ydx + _∂xdy
ko‘rinishda yozish qonuniydir. Bundan ushbu

∂y

∂x
v(x, y) = ∫ −^∂udx + ^∂udy

integralga ega bo‘lamiz. So‘ngi integral qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmagani uchun uni bunday yozish mumkin:
^∫z ∂u ∂u
v(x, y) = −_∂ydx + _∂xdy + C, (7)
z₀
bunda z₀ berilgan G sohadagi qo‘zg‘almas, z = x + iy esa o‘zgaruvchi nuqta bo‘lib, C-ixtiyoriy o‘zgarmas sondir. So‘nggi tenglikda C ishtirok etayotgani uchun u(x, y) ga qo‘shma garmonik bo‘lgan v(x, y) funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular bir-biridan o‘zgarmas son bilan farq qiladi, degan xulosaga kelamiz. C ni aniqlab birgina v(x, y) funksiyani topish uchun masalada qo‘shimcha shart berilishi kerak.
Xuddi shu usulda, agar v(x, y) garmonik funksiya berilgan bo‘lsa, unga qo‘shma garmonik u(x, y) funksiyani quyidagicha topish mumkin:
^∫z ∂v ∂v
u(x, y) = dx − dy + C. (8)
∂y ∂x
z₀

Shunday qilib quyidagi teorema isbot qilindi.