Garmonik funksiyalar

Kurs ishining maqsadi : garmonik funksiyalar va ularning xossalarini, Puasson integralini o’rganish.
Kurs ishining vazifalari:

• 
  Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar, ularning golomorfligi o’rganiladi.
  
• 
  Garmonik funksiyalar va ularning xossalari o’rganiladi.
  
• 
  Qo’shma garmonik funksiyalar va ularga misollar keltiriladi.
  
• 
  Garmonik funksiyalar uchun minimum va maksimum haqidagi teorema o’rganilgan.
  
• 
  Dirixle masalasini yechish o’rganilgan.
  
• 
  Puasson integrali o’rganilgan.
  

Birinchi bobda kompleks o’zgaruvchili funksiyalar, ularning golomorfligi, garmonik va qo’shma garmonik funksiyalar, ularga misollar, golomorf va garmonik funksiyalar orasidagi bog’lanish o’rganilgan.
Ikkinchi bobda garmonik funksiyalar uchun minimum va maksimum haqidagi teorema, Dirixle masalasi va Puasson integrali o’rganilgan. Shuningdek bu bobda doirada berilgan analitik funksiyani uning aylanadagi qiymatlari orqali ifodalash masalasi va Shvarts formulasi o’rganilgan.

I BOB.

ASOSIY QISM

GARMONIK FUNKSIYALAR

§1.1. Kompleks o’zgaruvchili funksiya va uning golomorfligi

Garmonik funksiyalar - Laplas tenglamasini kanoatlantiradigan biror sohada birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz boʻlgan haqiqiy funksiyalar.
Tarif n o'lchamli fazodagi D sohada aniqlangan ikki marta differensiallanuvchi u funksiya Δu=0 tenglamani qanoatlantirsa u holda u funksiya D sohada garmonik funksiya deyiladi. D sohada garmonik funksiyalar sinfi h(D) bilan belgilanadi.
Xossalari
1. D sohada garmonik funksiya har qanday tartibli xususiy hosilalarga ega, ya'ni cheksiz marta differensiallanuchi bo'ladi.
2. Garmonik funksiyani D sohadagi S⊂D sfera bo'yicha o'rta qiymati S sfera markazidagi qiymatiga teng.
3. Garmonik funksiyani D sohadagi B⊂D shar bo'yicha o'rta qiymati B shar markazidagi qiymatiga teng.
4. Agar D⊂C kompleks tekislikdagi bir bog'lamli sohada u - garmonik bo'lsa u holda shunday f - D sohada analitik funksiya mavjudki u = Re f tenglik o'rinli.
Muhim vektor maydonlarning potensiallari (mas, siqilmaydigan bir jinsli suyuqlik harakatida tezlik potensiali, jism ichida temperaturaning tarqalishi va b.) G.f. hisoblanadi. Ikki x, u oʻzgaruvchining G. f. i kompleks z = x + iy oʻzgaruvchining analitik funksiyasi / (x) bilan uzviy bogʻlangan. Har bir i (x, u) G.f. biror analitik / (x) funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismi va, aksincha, ixtiyoriy analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari G. f. boʻladi. G. f. nazariyasining eng muhim masalalari chegaraviy masalalardan ibo-rat. Bulardan biri Dirixle masalasi boʻlib, bunda biror soha ichidagi G. f. soha chegarasida berilgan qiymatlariga asosan izlanadi. G. f. nazariyasining bu va b. chegaraviy masalalarini yechish uchun nazariy va amaliy jihatdan ahamiyati katta boʻlgan turli usullar ishlab chiqilgan. G.f. nazariyasini fizika va texnika masalalariga tatbiq qilishda chegaraviy masalalarni sopli yechish usullarini ishlab chiqish juda muhim (qarang Matematik fizika tenglamalari).
funksiya bо‘ladi.