Garmonikalar. Fure qatorining ta’rifi

8-9-ma’ruzalar: Davriy funktsiyalar. Funktsiyalarni davriy davom ettirish. Fure qatori. Juft va toq funktsiyalarning Fure qatori.
Reja:

1. 
   Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar.
   
2. 
   Garmonikalar.
   
3. 
   Fure qatorining ta’rifi.
   
4. 
   Juft va toq funksiyalarning Fure qatori.
   

1⁰. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar. funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, shunday son topilsaki, da

tenglik bajarilsa, davriy funksiya, son esa uning davri deyilar edi.
Agar davriy funksiya bo‘lib, son uning davri bo‘lsa, sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.
Agar va davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davri bo‘lsa,

funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri ga teng bo‘ladi.
Aytaylik, davriy funksiya bo‘lib, uning davri bo‘lsin. Agar bu funksiya grafigini tasviri oraliqda ma’lum bo‘lsa, uni birin – ketin

vertikal to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko‘chirish natijasida ning dagi grafigi hosil bo‘ladi (30- chizma):

30-chizma

Bu jarayonni da berilgan funksiyani ga davriy davom ettirish ham deb yuritiladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, davrli funksiya da uzluksiz bo‘lsa, uni ga davriy davom ettirishdan hosil bo‘lgan funksiya (uni ham deymiz) da uzluksiz yoki bo‘lakli uzluksiz (ya’ni nuqtalarda uzilishga ega bo‘lib, boshqa barcha nuqtalarda uzluksiz) bo‘lishi mumkin.
Masalan, da berilgan

funksiyani ga davriy davom ettirishdan hosil bo‘lgan funksiya da uzluksiz bo‘ladi (31-chizma):


-2 -1 0 1 2

31-chizma

da berilgan

funksiyani da davriy davom ettirishdan hosil bo‘lgan funksiya da bo‘lakli uzluksiz bo‘ladi (32- chizma):









-3 3

32-chizma

Lemma. Agar davriy funksiya, uning davri bo‘lib, da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
◄ Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
. (1)
Bu tenglikdagi

integralda almashtirish bajaramiz. Natijada
(2)
bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.►