Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI

O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI AMALIY MATEMATIKA VA INTELLEKTUAL TEXNOLGIYALAR FAKULTETI
AMALIY MATEMATIKA VA KOMPYUTER TAHLILI KAFEDRASI

5130200 – Amaliy matematika va informatika yo’nalishi

Hisoblash usullari fanidan

2-mutaxassislik sirtqi 3-kurs talabasi

Normuratov Otamurod Rahmatullayevich

“ Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari”

mavzusidagi
KURS ISHI
Qabul qildi: dots. Xudoyberganov M.

TOSHKENT-2021

Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari
REJA:

1. Gauss kvadratur formulasi.

2. Meler kvadratur formulasi.


1. Gauss kvadratur formulasi. Gauss kvadrat formulasi Gauss tipidagi kvadratur formulalarning xususiy holi bo`lib, bu hol va [a, b]da oraliq cheklidir. Ixtiyoriy oraliqni chiziqli almashtirish yordamida [-1, 1] ga keltirish mumkin, shuning uchun ham integral
ko`rinishga keltirilgan deb faraz qilamiz.

Ma`lumki, [-1,1] oraliqda vazn bilan ortogonal bo`lgan funksiyalar sistemasini Lejandr ko`phadlari

tashkil etadi. Bu ko`phadlarning ortogonal sistema tashkil etishi funksiyalarni yaqinlashishidan ravshandir. Lekin buni bevosita tekshirish ham mumkin. Ixtiyoriy k < n uchun, bo`laklab integrallash yo`li bilan ushbuga ega bo`lamiz:

(5.1)

O`ng tomondagi birinchi had nolga teng, shuning uchun:

Shunga o`xshash

Bundan ko`rinadiki, ixtiyoriy к = 0,1,...,п - 1 uchun S<sub>k</sub> = 0 bo`lib, L_n(x) ortogonal sistemani tashkil etadi. L_n(x) ko`phad <sub>n</sub>(x) dan faqat doimiy ko`paytuvchi bilan farq qiladi. (5.1) formuladan:

Demak,

kelib chiqadi. Endi (5.2) ni hisobga olib, bo`laklab integrallash yo`li bilan (S_k ni hisoblashdagidek)

ni hosil qilamiz. Ma`lumki,

Demak

Bizga L_n(l) va L_n(-1) ning qiymatlari kerak bo`ladi. Buni topish uchun Leybnits formulasidan foydalanamiz:

Bundan esa xususiy holda

ga ega bo`lamiz.

Endi Gauss kvadratur formulasining

tugunlari va koeffisiyentlarini aniqlashga o`tamiz.Tugunlarni topish uchun

L_n (x) =0

algebraik tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash kerak. Tugunlar aniqlangandan so`ng koeffisiyentlarni

yordamida aniqlash mumkin. Lekin bu formula hisoblash uchun noqulay, shuning uchun ham boshqa yo`l tutamiz. Buning uchun (5.6) formulani shunday ko`phadga qo`llaymizki o`ng tomonda faqat birgina had holsin. Masalan,

kabi olsak, bu yerda

u holda

chunki (5.5) ga ko`ra . Ikkinchi tomondan, (5.6)ga ko`ra

chunki (5.6) dagi holgan hadlar nolga aylanadi. Quyidagi tenglikni

ikki marta differensiallab, х =х_к deb olsak

ga ega bo`lamiz. Bu qiymatlarni (5.8) ga qo`yib, so`ngra uni (5.7) bilan taqqoslab, quyidagini topamiz:

Ma`lumki, Lejandr ko`phadi L_n(x) ushbu

tenglamani qanoatlantiradi. Buni bevosita tekshirib ko`rish mumkin. Bu tenglamada х - х_к deb va L_n(x_k) = 0 ni hisobga olsak

kelib chiqadi. Bundan esa

Bu ifodani (5.9) ga qo`yib, А<sub>к</sub> uchun kerakli formulaga ega bo`lamiz:

Endi Gauss formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Faraz qilaylik f(x) funksiya [-1,1] oraliqda 2n - tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. U holda 3-§ dagi 3-teoremaga ko`ra

Bu yerda (5.3) va (5.4) formulalarga ko`ra

Shunday qilib, Gauss formulasining qoldiq hadi

bo`ladi

Quyida Gauss formulasining tugunlari, koeffisiyentlari va qoldiq hadlari n=1,2, 3, 4, 5, 6 uchun keltirilgan:

n= 1

V.I. Krilovning [3] kitobida Gauss formulasining tugunlari va koeffisiyentlari p = 1(1)16 uchun o`n beshta o`nli rahami bilan berilgan. Ixtiyoriy [a, b] oraliq bo`yicha olingan

integralni

t=

almashtirish yordamida [-1,1] oraliqqa keltirish mumkin:

Bu integralga Gauss formulasini qo`llasak

ni hosil qilamiz, bu yerda

х_к va A lar [-1,1] uchun qurilgan Gauss formulasining tugunlari va koeffisiyentlaridir.

Misol. Gauss formulasi yordamida ushbu

integralni hisoblaylik. Avvalo almashtirish yordamida

ko`rinishga keltiramiz, so`ngra n= 4 deb hisoblashlarni olti xona aniqlikda bajaramiz: