Gauss usuli. Usulni qo’llashga doir izohlar

Integrallarni hisoblashda Gaus formulalarining qo’llanishi.G’oyalari va xatolilari


Reja:

1. 
   Integrallarni hisoblashda Gaus formulalari
   
2. 
   Gauss usuli .
   
3. 
   Usulni qo’llashga doir izohlar .
   
4. 
   Arifmetik amallar soni.
   

Gauss formulalari, belgilangan bir intervalda bir funksiyani integrallash uchun ishlatiladi. Bu formulalar, integrallar hisoblanishida to'g'ri javobni aniqlash uchun ishlatiladi.

1. 
   Gauss-Legendre formulasi: Bu formula, boshqa Gauss formulalaridan ko'proq ishlatiladi va bu formula, integrallarni hisoblashda eng ko'p ishlatiladi. Quyidagi formulaga ega:
   

∫a^b f(x) dx ≈ [(b-a)/2] ∑(i=1, n) wi f[(b-a)/2]xi + [(b+a)/2]
Bu yerda "wi" – bu Gauss ko'rsatkichlari, "xi" – ko'rsatkichlar, "n" – integrallarni yaxlitlash uchun kerak bo'lgan ko'rsatkichlar soni. Bu formulani foydalanuvchilar o'zgaruvchanlarni yaxshilash uchun foydalanishlari mumkin.

2. 
   Gauss-Laguerre formulasi: Bu formula, ko'pincha, integralni hisoblashda yaxshi natijalar olish uchun ishlatiladi. Quyidagi formulaga ega:
   

∫0^∞ f(x) e^-x dx ≈ ∑(i=1, n) wi f(xi)
Bu yerda "wi" – bu Gauss ko'rsatkichlari, "xi" – ko'rsatkichlar, "n" – integrallarni yaxlitlash uchun kerak bo'lgan ko'rsatkichlar soni.

3. 
   Gauss-Hermite formulasi: Bu formula, integralni hisoblashda x^2 e^-x^2 kabi funktsiyalarni integrallash uchun ishlatiladi. Quyidagi formulaga ega:
   

∫-∞^∞ f(x) e^-x^2 dx ≈ ∑(i=1, n) wi f(xi)
Bu yerda "wi" – bu Gauss ko'rsatkichlari, "xi" – ko'rsatkichlar, "n" – integrallarni yaxlitlash uchun kerak bo'lgan ko'rsatkichlar soni.

Usulning tatbiqi.

Chiziqli tenlamalar sistemasini yechish usullari. Bu usullar ikkita yirik guruhga bo’linadi :bevosita yechish usullari va ketma-ket yaqinlashish(iteratsiya)usullari. I.Bevosita yechish usullarida no’molumlarni toppish uchun chekli munosabatlar (formulalar)dan foydalaniladi .Bunday usullar sestema yechimini ilgaridan ma’lum bo’lgan amallarni bajarish orqali topishga imkon beradi.Bu usullar ancha oddiy va o’ta universal xarakterga ega .Ular keng doiradagi chiziqli algebrayik tenglamalar sestemasini yechishga yaroqlidir.Shu bilan birgalikda ularning bir qator kamchiliklari ham mavjud : a) Kompyuter xotirasida algebrayik sestema matrisasini to’liq saqlashni taqozo qiladi,tenglamalar soni n ning katta qimatlarida kompyuter xotirasining ko’p sarflanishiga olib keladi. b)Matrisaning strurukturasini hisobga olmaydi , juda ko’p elementlari no’lga teng bo’lgan tarqoq matrisalar (masalan,kataksimon,lentasimon ,uch diganalli,besh diagonalli)ning nol elementlari ham kompyuter xotirasidan joy agallaydi va ular bilan ham arifmetik amallar bajiriladi. c) Bevosita yechish usullarining eng asosiy kamchiligi sestemani yechish jarayonida yahlitlash hatolarining to’planib borishidir,chunki ixtiyoriy bosqichdagi hisoblashda o’zidan oldingi hisoblashlardagi natijalardan foydalaniladi. Shu sababli ,bevosita yechish usullari sestema tartibini n unchalik katta bo’lmagan (n<200)to’liq matrisalarga ega bo’lgan va determinanti no’lga yaqin bo’lmagan sestamalarni yechishda qo’llaniladi. II.Iterratsiya usullari –bu sestema yechimiga ketma-ket yaqinlashishlarni taminlaydi.Bu usullarda dastlab biror-bir taqribiy yechimni –boshlang’ich yaqinlashishni berish lozim .Ketma-ket yaqinlashish natijasida sistema yechimiga yangi yaqinlashish topiladi.Echimni malum aniqlik bilan topguncha ketma-ket yaqinlashish bajarib boriladi.Bu usullarda kompyutar xotirasida sistemaning matrisasini to’liq saqlash talab etilmaydi. Natijaviy echimdagi hato ketma-ket yaqinlashishlar (iteratsiya) usilidan foydalanilganda to’planib bormaydi, chunki har bir iteratsiyadagi hisoblash aniqligi faqat o’zidan oldingi iteratsiyadagi hisoblash natijalariga bog’liq bo’ladi va amalda ilgarigi bajarilgan hisoblashlarga bog’liq bo’lmaydi. Iteratsiya metotlari tenglamalar soni juda ko’p bo’lganda ,hamda yomon shartlangan sestemalarni yechishda juda foydalidir. Gouss usuli.Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sestemasini yechish talab qilingan bo’lsin
(1)
yoki qisqacha

Ixtiyoriy algebraik sestemani yechish uchun Gauss usilining asosiy g’oyasi berilgan sestema matrisasini yuqori uchburchakli ko’rinishiga keltirishdan iborat .Bu jarayon quyidagicha amalga oshiriladi.Sestema (1) ning birinchi tenglamasini shunday songa ko’paytirib ,uning ikkinchi tenlamasidan ayiramizki ,ikkinchi tenglamadagi no’malum oldidagi koeffesient no’lga aylansin.Xuddi shu tariqa birinchi tenglamani shunday sonlarga ko’paytirib uchinchi ,to’rtinchi va h.k tenglamalardan ayiramiz xamda no’malum oldidagi koeffisientlarni no’lga aylantiramiz.Shunday qilib bosh dioganaldan pasda joylashgan birinchi ustundagi no’malumlar oldidagi barcha koyfesentlar no’lga aylantiriladi . So’ngra ikkinchi tenglama yordamida uchinchi ,to’rtinchi va h.k tenglamalardan ikkinchi ustundagi no’malumlar oldidagi koeffisientlar no’lga aylantiriladi .Ushbu jarayonni ketma-ket da’vom ettirish natijasida matrisaning bosh diagonalidan pastda (quyida) joylashgan barcha koeffisientlar nolga aylantiriladi . Bu jarayoning umumiy fomulasini yozamiz .Aytaylik (k-1)-ustundagi no’malumlar no’lga aylantirilgan bo’lsin .U holda bosh diagonaldan pastda nolmas elementlarga ega bo’lgan shunday tenglamalar qoladi

Ushbu tenglamaning k-satrini
= , m>k (3)
songa ko’paytiramiz va m satridan ayiramiz , m satrdagi birinchi no’lmas element no’lga aylanadi ,qolgan elementlari esa quyidagi formula asosida o’zgaradi
= - (4)
= , kBu formulalar yordamida indekslarning ko’rsatilgan barcha qiymatlarida xisoblashlar o’tkazib , k-ustundagi nomalum oldidagi koeffesientlarni yo’qatamiz .Bunday yo’qatishga jarayon sikli deyiladi .Barcha sikillarning bazarilishiga Gauss usulining to’g’ri yo’li deyiladi . Barcha sikllarning bajarilishidan hosil bo’ladigan uchburchakli sestemani yozamiz:

yoki


(6)



Berilgan sestemani yuqori uchburchakli ko’rinishga keltirilganda matrisaning quyi yarmidagi katakchalar bo’shab qoladi .Matrisaning bo’sh o’rinlariga ko’paytuvchilarni joylashtiramiz, ularni eslab qolish zarur ,ular matrisani teskarilashda yoki yechimni aniqlshtirishda kerak bo’ladi. U holda kengaytirilgan matrisa quyidagi ko’rinishni oladi
…
…
…
. . . … . .
… .
Uchburchakli sestema (6)ning yechimi osongina teskari yo’l bilan quyidagi formula asosida hisoblanadi

agarda bo’lsa.

Metodni qo’llashga doir izohlar . a)Agarda hisoblash jarayonida bosh diagonalda no’lga teng element paydo bo’lsa (3)-(4)formulalar yordamida no’malumlarni yo’qatish mumkin emas. Bunday holda satrlar o’rnini almashtirish orqali bosh diagonalga no’lmas elementlarni keltirish lozim,so’ngra hisoblashni davom ettirish mumkin . b)bo’sh diagonaldagi element kichik bo’lsa ,u holda bu satr juda katta son ga ko’paytiriladi va ayirishda juda katta yahlitlash hatolariga olib keladi .Bunday holat ro’y bermasligi uchun xar bir sikl xar doyim satirlar o’rnini almashtirish orqali boshlanishi lozim .

m ustun elementlari orasida bosh element topiladi yoki ustunda absolyut miqdor bo’yicha eng katta element topiladi va satrlar o’rnini almashtirish orqali uni bosh diagonalga keltiramiz ,so’ngra o’zgaruvchilarni yo’qotishni davom ettirishimiz mumkin .Bosh diagonalni tanlash orqali bajariladigan Gauss metodida odatda yaxlitlash xatosi unchalik katta bo’lmaydi. Faqat yomon shartlangan sistemalar uchun (det 0)Gauss metodining turg’unligi yomonlashadi. Bosh elementni tanlash orqali amalga oshiriladigan Gauss metodi ishonchli, sodda va to’liq matrisali chiziqli sistemalarni yechish uchun yaroqli bo’ladi .Gauss metodi ta kompyuter tezkor xotirasi yachaykalarini band qiladi. Hisoblash jarayonida tahminan arifmetik amal sarflanadi. Arifmetik amllar soni. Gauss metodidagi arifmetik amallar sonini hisoblaymiz .Quyidagi lemmani isbotsiz keltiramiz. Lemma ushbu tangliklar o’rinli

Gauss metodida no’malum oldidagi koeffisienlarni yuqotish uchun quyidagi sondagi amallar bajariladi : a) Xammasi bo’lib ,birinchi tenglamaning ikkinchi ,uchinchi va xokazo koeffisisentlarini xamda o’ng tomonini no’malum oldidagi koeffisientga bo’lish uchun n ta bo’lish amali bajaradi . no’malum oldidagi koeffisientlarni ikkinchi uchinchi, va keyingi tenglamalardan (ularning soni (n-1)ta) formula (4) ning birinchisi orqali yo’qotish uchun n ta ko’paytirish va n ta ayirish amali sarflanadi .Shunday qilib , nomalum oldidagi koeffisientlarni yo’qotish uchun sarflanadigan amallarning umumiy soni
=n+2n(n-1)=2 -n
miqdorga teng . nomalum oldidagi koeffienlarni yo’qotish uchun zarur bo’lgan amallar soni topish uchun ifodadagi n ni (n-1) ga almashtirish zarur :
=2 -(n-1)=2 -(n-2+1).
Umuman olganda ixtiyoriy no’malum oldidagi koeffiesentni yo’qotish uchun arifmetik amal talab qilinadi :

Xammasi bo’lib Gauss metodining to’g’ri yo’lida quyidagi miqdorga teng bo’lgan arifmetik amallar talab qilinadi:

Bunda , k=n-i+1 deb olib yuqoridagi lemmadan foydalansak , uchun aniq ifoda xosil qilamiz:

Bu Gauss metodining to’g’ri yo’lida sarflanadigan arifmetik amallar soni .Gauss metodining teskari yo’lida esa
arifmetik amal sarflanadi ,bu amallar soni formula (7) ni qo’llash natijasida kelib chiqadi . Shunday qilib ,n-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechish uchun ,umimiy holda
+
arifmetik amal sarf lanadi .Metodning tatbiqi .Gauss metodini ushbu sistemani echishga tatbiq etamiz
,
,
,
Bu sistemaning birinchi tenglamasini 0.3 ga ko’paytirib ikkinchi tenglamaga qo’shamiz va birinchi tenglamani -0.5ga ko’paytirib uchinchi tenlamaga qo’shamiz hamda ushbu sistemani hosil qilamiz

So’ngra hosil bo’lgan sestemaning ikkinchi tenglamasini 25 ga ko’paytirib ,uchinchi tenglamasiga qoshamiz va yuqori uchburchakli sistemani hosil qilamiz

Shu bilan Gauss metodining to’ri yo’li tugaydi .Metodning teskari yo’lida no’malumlar ketma-ket hisoblanadi:
, ,
Nazorat savollari
1.Chiziqli tenlamalar sestemasini yechish usullarini tushuntiring . 2.Gauss usuli ni tushuntiring .
3.Usulni qo’llashga doir izohlarni tushuntiring . 4.Arifmetik amallar sonini hisoblang.
Адабиётлар рўйхати

1. 
   * М.И.Исроилов Ҳисоблаш методлари. Тошкент “Ўқитувчи” 1988 й.
   
2. 
   * Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы. –М.Наука 1987.
   
3. 
   * G.P.Ismatullaev, M.S.Kosbergenova Hisoblash usullari. Toshkent 2014.
   
4. 
   * Ё.У.Соатов Олий математика 3-жилд . Тошкент “Ўқитувчи” 1996 й.
   
5. 
   * Ё.У.Соатов Олий математика 5-жилд . Тошкент “Ўқитувчи” 1998 й.
   
6. 
   * Г.Н.Воробьева, А.Н.Данилова Практикум по вычислительной математике. Москва “Высшая школа” -1990.
   
7. 
   * Jose Augusto Ferreira Computational Mathematics. 2010.
   
8. 
   * H. De sterck, P.Ullrich Introduction to Computational Mathematics. 2006.
   

Қўшимча адабиётлар

1. 
   И.С.Березин, Н.П.Жидков Методы вычислений. Т.1. М.: Физматгиз.1962.
   
2. 
   А.А. Самариский Введение в численные методы. –М. Наука. 1987.
   
3. 
   Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –М. Наука. 1989.
   
4. 
   Н.С.Бахвалов Численные методы. –М.Наука 1987.
   

GLOSSARIY

Gouss usuli. Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sestemasini yechish talab qilingan bo’lsin

Ixtiyoriy algebraik sestemani yechish uchun Gauss usilining asosiy g’oyasi berilgan sestema matrisasini yuqori uchburchakli ko’rinishiga keltirishdan iborat.
Gauss metodidagi arifmetik amallar sonini hisoblaymiz .Quyidagi lemmani isbotsiz keltiramiz. Lemma ushbu tangliklar o’rinli