Геометрические характеристики плоских сечений

Рис.4.3
Решение.
По формуле (3) имеем  . Выделим на рис. 4.3 на расстоянии y элементарную площадку dF с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4.3

тогда


Подставляя найденные значения y и dF в выражение S_z, получим

Координата центра тяжести сечения y_c определяется по формуле (7):

Пример 2.
Найти положения центра тяжести фигуры, имеющей форму тавра (рис.4.4).

Рис.4.4
Решение.
1. Разбиваем изображенную на рис. 4.4 фигуру на простые и присваиваем им номера 1 и 2. Центры тяжести каждой из простых фигур обозначаем соответственно с₁ и с₂.
2. Проводим через центры тяжести каждой из фигур оси z₁, z₂ и ось y. Ось y является осью симметрии фигуры, проходит через центры тяжести обеих простых фигур и всей фигуры также и поэтому индексации не имеет.
3. Выбираем в качестве начала координат центр тяжести второй фигуры c₂ и в качестве оси, относительно которой будем производить все вычисления, ось z₂.
4. Вычислим статический момент площади фигуры относительно оси z₂:

В формуле (а) координата центра тяжести второй простой фигуры  , так как ось z₂, относительно которой определялся статический момент площади, проходит через центр тяжести второй фигуры. В соответствии с основным своим свойством статический момент площади относительно любой центральной оси равен нулю. В связи с этим для сокращения арифметических вычислений при определении положения центра тяжести сложных фигур рекомендуется выбирать в качестве начала координат центр тяжести одной из простых фигур.
4. Находим координату центра тяжести всей фигуры, используя выражение (7):

Найденное значение координаты центра тяжести отложим вдоль оси y вверх от точки c₂, так как это значение положительное. Полученную точку обозначим буквой C. Ось z_C, проведенная через центр тяжести всей фигуры будет одной из центральных осей фигуры. Вторая центральная ось фигуры в данном примере не определяется, так как этой осью является ось симметрии y. Статические моменты S_y простых фигур и всей фигуры относительно этой оси равны нулю. В соответствии с выражением (7) координата центра тяжести всей фигуры z_C =0.
Анализируя полученное решение, можно сделать вывод о том, что при определении центра тяжести для сложных фигур очень важно удачно выбрать начало координат и, соответственно, оси, относительно которых производятся все вычисления. Как уже отмечалось выше, начало координат следует помещать в центр тяжести одной из простых фигур.
Пример 3.
Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160 100 10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 4.5). Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.