Геометрические характеристики плоских сечений

Рис.4.5
Решение.
Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 4.5. Для первого (1) прямоугольника



Для второго (2) прямоугольника



Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (8):


По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны z_c=2,28см; y_c=5,23см.
Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:


Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С₁С₂.
Моменты инерции плоских сечений простой формы
В дополнение к статическим мо­ментам в системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения:



Первые два интегральных выраже­ния называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье  центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.
Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 4.6), фор­мулы (10) будут иметь вид:




Рис. 4.6
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.7). Преобразуя формулы (10), получим:




Рис. 4.7
Если предположить, что оси x₁ и y₁ (см. рис. 4.7) являются цен­тральными, тогда  и выражения (11) упрощаются и принимают вид:



Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.
Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 4.7). В качестве элементарной пло­щадки dА возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.7). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что 
Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю.
Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.8, а), вводится также полярный момент инерции:

где   радиусвектор точки тела в заданной полярной системе ко­ординат.