Геометрические приложения криволинейных интегралов

	Рис.14 Рис.15
Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой  , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2(рисунок 15). Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла. Найдем отдельно каждый из интегралов. Следовательно, площадь заданной области равна
Пример 8 Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде   (рисунок 16). Решение. 1) Применим сначала формулу  . Получаем Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы: Рис.16 Рис.17
Пример 9
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой  , и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0. Решение. Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле Вычислим криволинейные интегралы Следовательно, объем тела равен
Пример 10.
Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 18). Рис.18 Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R) равен  .

Список использованной литературы

1. 
   Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000.
   
2. 
   Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Наука, ч.2, 1994.
   
3. 
   Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных., М., Наука, 2000.