Геометрические приложения криволинейных интегралов

Введение
Раздел «Криволинейные интегралы» является основным в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.
В курсовой работе рассмотрены криволинейные интегралы I и II рода, их определения, свойства и правила вычисления, геометрическое приложение криволинейных интегралов и решение примеров.
Понятие криволинейных интегралов
1.1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), его физический смысл и свойства

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L, имеющей уравнение , причём . Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками A=A₀,A₁,A₂,…,A_n=B. Пусть длина дуги A_к-1А_к есть . На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку и умножим значение функции в этой точке на длину соответствующей дуги.

Определение. Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x,y) (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы при условии, что , и обозначается
или (dl- дифференциал дуги). Итак по определению

(1)

Если и эта функция представляет собой переменную линейную плотность , то криволинейный интеграл по длине дуги даст массу этой дуги. В этом и состоит физический смысл интеграла.


Свойства криволинейного интеграла I рода

1. 
   Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования:
   

2. .
3. , где c=const
4. Если контур интегрирования L разбит на 2 части L₁ и L₂, то