Геометрические приложения криволинейных интегралов

1.4. Основные свойства криволинейного интеграла II рода

1. Криволинейный интеграл II рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования

2.
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.
В случае, если кривая АВ замкнутая, т.е. точка В совпадает с точкой А, будем считать, что в интеграле вида (7) замкнутый контур всегда обходится в положительном направлении (против часовой стрелки), при котором область, лежащая внутри этого контура, остаётся по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой линии L употребляется символ и интеграл называется циркуляцией вектора вдоль линии L.



1.5. Вычисление криволинейного интеграла II рода

1) Кривая АВ задана уравнением в декартовых координатах , тогда и

, т.е. сводится к определённому интегралу.
2) Кривая задана параметрически
, тогда
, т.е. также сводится к определённому интегралу.
Пример 1. Вычислить вдоль дуги параболы y=x² от точки А(1;1) до точки В(2;4).
Решение:
Имеем:


Пример 2. Вычислить криволинейный , если путь от А(1;1) до В(3;4) – отрезок прямой.
Решение:
Запишем уравнение прямой АВ по формуле







Пример 3. Вычислить , если K – ломанная ОАВ, где О(0;0), А(2;0), В(4;2).
Решение:
По свойствам интеграла

1. 
   На участке ОА; и
   

Рис. 2

2. 
   Запишем уравнение АВ, где А(2;0), В(4;2)
   

Общее значение интеграла
Пример 4. Вычислить , если К - контур треугольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2,5), пробегаемый против хода часовой стрелки (Рис. 3).
Р ешение:
По свойствам интеграла

1. 
   На АВ; запишем уравнение АВ
   

Рис. 3

2. 
   На участке ВС. Запишем уравнение ВС, где В(3;1), С(2,5)
   

3. 
   На участке СА. Запишем уравнение СА, где С(2;5), А(1;2)
   

Общее значение интеграла .
Пример 5. Вычислить , если К – 1-я четверть окружности , пробегая против хода часовой стрелки.
Решение:

Рис. 4
Из рис. 44 видно, что параметр t меняется от 0 до . Далее имеем:

.