Геометрические приложения криволинейных интегралов


Основные свойства криволинейного интеграла II рода


Download 0.6 Mb.
bet4/9
Sana06.04.2023
Hajmi0.6 Mb.
#1333058
TuriКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
00042a56-097becea

1.4. Основные свойства криволинейного интеграла II рода

1. Криволинейный интеграл II рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования



2.
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.
В случае, если кривая АВ замкнутая, т.е. точка В совпадает с точкой А, будем считать, что в интеграле вида (7) замкнутый контур всегда обходится в положительном направлении (против часовой стрелки), при котором область, лежащая внутри этого контура, остаётся по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой линии L употребляется символ и интеграл называется циркуляцией вектора вдоль линии L.



1.5. Вычисление криволинейного интеграла II рода

1) Кривая АВ задана уравнением в декартовых координатах , тогда и


, т.е. сводится к определённому интегралу.
2) Кривая задана параметрически
, тогда
, т.е. также сводится к определённому интегралу.
Пример 1. Вычислить вдоль дуги параболы y=x2 от точки А(1;1) до точки В(2;4).
Решение:
Имеем:


Пример 2. Вычислить криволинейный , если путь от А(1;1) до В(3;4) – отрезок прямой.
Решение:
Запишем уравнение прямой АВ по формуле







Пример 3. Вычислить , если K – ломанная ОАВ, где О(0;0), А(2;0), В(4;2).
Решение:
По свойствам интеграла

  1. На участке ОА; и




Рис. 2


  1. Запишем уравнение АВ, где А(2;0), В(4;2)



Общее значение интеграла
Пример 4. Вычислить , если К - контур треугольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2,5), пробегаемый против хода часовой стрелки (Рис. 3).
Р ешение:
По свойствам интеграла

  1. На АВ; запишем уравнение АВ





Рис. 3




  1. На участке ВС. Запишем уравнение ВС, где В(3;1), С(2,5)






  1. На участке СА. Запишем уравнение СА, где С(2;5), А(1;2)





Общее значение интеграла .
Пример 5. Вычислить , если К – 1-я четверть окружности , пробегая против хода часовой стрелки.
Решение:


Рис. 4
Из рис. 44 видно, что параметр t меняется от 0 до . Далее имеем:



.

Download 0.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling