Геометрические приложения криволинейных интегралов

1.7. Формула Грина

Связь между двойным интегралом по области Д и криволинейным интегралом по границе L этой замкнутой области устанавливает формула Грина.

Теорема Грина. Если функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в области Д, ограниченной замкнутым контуром К, то имеет место формула

(1)

Рис. 7
Формулу (1) называют формулой Грина. Заметим, что в формуле (1) обход контура L производится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Пример. Вычислить криволинейный интеграл непосредственно и по формуле Грина, где контур L области Д есть периметр треугольника с вершинами A(-1,0), B(0,2), C(2,0), обходя его против часовой стрелки.
Р ешение:
Построим искомую область (Рис. 8)
Рис. 8
I. Вычисляем интеграл непосредственно
1) На линии АС

2) На линии СВ. Запишем вначале уравнение прямой СВ.


3) На линии ВА. Уравнение линии

II. Вычисляем интеграл по формуле Грина

Имеем:



Результаты совпали.


2. Геометрические приложения криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются Длина кривой; Площадь области, ограниченной замкнутой кривой; Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.