Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

3

Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Вычисление криволинейных интегралов первого рода.
П усть кривая  задана параметрическими уравнениями
г де  – непрерывные вместе со своими производными функции, а функция непрерывная вдоль этой кривой. Тогда для любой точки  кривой длину дуги  можно рассматривать как функцию параметра и вычислять по формуле
Откуда, согласно правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу,
Е сли кривая  задана уравнением то
Рассмотрим пример. Вычислить криволинейный интеграл
г де  дуга параболы от точки до точки
В оспользуемся формулой
д ля этого определим
тогда
Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.

Свойства математического ожидания:

1. 
   Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
   
2. 
   Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
   
3. 
   Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
   
4. 
   Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
   

М (X + Y + . . . + W) = М (X) + М (Y) + . . . + М (W).

5. 
   Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
   

М (XY) = M(X) × M(Y).

6. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
   

М(СХ) = С× М(Х).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

D(X) = M [X – M(X)]^2.

Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:

D(X) = M (X^2) – [M(X)]^2.

Свойства дисперсии:
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D (СX) = С²×D(X).
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).