Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ
2
Знак интегрирования введен Лейбницем в 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Интегрирование изучают, в основном, ученые-математики, также и физики внесли свой вклад в эту науку. Большинство формул математики и физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Первоначально, дифференцирование понадобилось для исследования функций, их промежутков возрастания и убывания, нахождения тангенса угла наклона касательной. Интегрирование – применялось для нахождения площадей и объемов тел, в том числе тел вращения. Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа, который широко используется в различных отраслях современной науки. Все выводы по проделанной работе сформулированы в «Заключении». Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функций трех переменных (двойной интеграл вводится для двух переменных). Введем определение тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области D трехмерного пространства задана ограниченная функция f (M) = f (x, y, z). Разобьем область D на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами Δ₁, Δ₂, …, Δ_n. В каждой области возьмем произвольную точку M_i (ξ_i; η_i; τ_i) и составим сумму которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области D. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей. Определение. Если интегральная сумма (1) при λ→0 имеет предел, равный I, то этот предел называется тройным интегралом функции f (x, y, z) по области D и обозначается одним из следующих символов:
В этом случае функция f (x, y, z) называется интегрируемой в области D; D – областью интегрирования; x, y и z – переменными интегрирования; dυ (или dx dy dz) – элементы объема. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла: Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.Рассмотрим область D, ограниченную снизу и сверху поверхностями z = z₁ (x, y) и z = z₂ (x, y), а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область G – проекция области D на плоскость Oxy, в которой определены и непрерывны функции z₁ (x, y) и z₂ (x, y). Предположим, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Тогда для любой функции f (x, y, z), непрерывной в области D, имеет место формула позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области G.

Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению и градиент