Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

О пределение.Если в каждой точке области  пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле этой величины. Поле называется скалярным, если величина вполне характеризуется своим числовым значением. Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке области  определена скалярная функция
Г еометрическое место точек, в которых скалярная функция принимает определённое значение, называется поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет вид .Понятие скалярного и векторного полей Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины – скалярной или векторной. Определение 2. Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным. Если Ω ∊ ℝ2 , то поле (скалярное, векторное) называется плоским. Примеры скалярных полей - каждой точке М нагретого тела поставлена в соответствие T(M) − ее температура, она образует поле температур внутри нагретого тела; - какой-либо источник света создает поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке Е(М); - непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы, где каждой точке М ставится в соответствие плотность массы в этой точке ρ(М). Примеры векторных полей - если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, вообще говоря, с различной в разных точках, каждой точке можно поставить в соответствие вектор скорости , то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости; - если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку области, действует гравитационная сила, которая и образует поле сил тяготения или гравитационное поле; - если на единичный электрический заряд, помещенный в точку , действуют с определенной силой электрические заряды, распределенные в некоторой области, то эти силы образуют векторное поле, которое называется электростатическим полем. Определение 3. Скалярное или векторное поле называется стационарным, если величина, характеризующая поле, зависит только от положения точки в пространстве, но не зависит от времени. Если же рассматриваемая величина зависит также и от времени, то поле называется нестационарным.


{1}
Д войные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y). Записывается двойной интеграл так: Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интегралаВычислить двойной интеграл - значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D.Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D.В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.
А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.