Геометрические приложения криволинейных интегралов

1.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода

1) Дуга AB=L задана в декартовых координатах уравнением y=f(x), .

Тогда , т.е. сводится к вычислению определённого интеграла.
2) Дуга AB задана параметрически
, , тогда и
, т.е. также сводится к определённому интегралу.
3) Дуга AB задана в полярных координатах уравнением . Тогда
, , и
и вычисление снова свелось к вычислению определённого интеграла.
4) С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить центр тяжести материальной линии с линейной плотностью по формулам

,

(1)

Пример 1. Вычислить , где L - отрезок прямой от точки А(0,0) до В(4,3).
Решение:
Находим уравнение прямой АВ по уравнению прямой, проходящей через две данные точки
Используем формулу


Пример 2. Найти массу дуги окружности , если линейная плотность её в точке (x,y) равна .
Решение:
Имеем:
Замечание. Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл I рода от функции трёх переменных f(x,y,z) по пространственной кривой. Если пространственная кривая задана уравнениями
, то

(2)

1.3. Криволинейный интеграл по координатам (II рода) и его механический смысл

Рис. 1
Предположим, что при движении по кривой АВ материальная точка М переходит из положения А в положение В. Во время движения на точку М действует сила , заданная своими проекциями P(x,y) и Q(x,y) на координатные оси

(1)

Найдём работу силы на перемещении .Разобьем дугу АВ на n частей A=M₀,M₁,M₂,…,M_n=B длин . На каждой дуге выберем точку M_i(x_i;y_i) и найдём в ней значение силы , где P_i=P_i(x_i;y_i), Q_i=Q_i(x_i;y_i). Предположим, что сила сохраняется не по дуге, а по хорде этой дуги. Тогда

(2)

и сила

(3)

Тогда приближённое значение работы на этом участке

(4)

Суммируя полученные частичные работы, найдём приближенно полную работу

(5)

Определение. Предел интегральных сумм при называется криволинейным интегралом II рода по координатам и обозначается

	(6)
	(7)

Ясно, что криволинейный интеграл II рода по координатам даёт с физической точки зрения работу силы на пути АВ.