Геометрические приложения криволинейных интегралов

1.6. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура
интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области Д и контур К целиком лежит в этой области. Тогда необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования является выполнение в области Д тождества

(1)

При соблюдении указанных условий криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащемуся в области Д, равен нулю

(2)

Для вычисления интеграла , не зависящего от контура интегрирования (т.е. условие (1) выполнено), в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования следует выбрать ломаную, соединяющую точки (x₀;y₀) и (x₁;y₁), звенья которой параллельны осям OX и OY (Рис. 45).

Рис. 5
Заметим, что выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

(3)

Функцию (первообразную) можно найти, вычисляя соответствующий криволинейный интеграл по ломаной А₀А₁В, где А₀(x₀;y₀) – произвольная фиксированная точка, В(x;y) – переменная точка, а точка А₁(x;y₀). Тогда

1. 
   На линии А₀А₁
   

2. 
   На линии А₁В и и
   

Тогда получаем следующую формулу для определения функции .

(4)

Пример 1. Вычислить
Решение:
Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, так как
, т.е. на всей плоскости XOY.
Выбираем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат (Рис. 6).

Рис. 6

1. 
   На АА₁
   

2. 
   На А₁В
   

Тогда
Пример 2. Найти первообразную функцию по её полному дифференциалу

Решение:
Имеем:
Так как, то данное выражение действительно является полным дифференциалом некоторой функции . Эту функцию найдём по формуле (4)