Геометрические приложения криволинейных интегралов
00042a56-097becea
- Bu sahifa navigatsiya:
- Рис.11 Рис.12
|
| ||||||
|
Пример 2 Вычислить длину астроиды . Решение. Астроида показана выше на рисунке 12. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте, и затем умножить результат на 4. Уравнение астроиды в первом квадранте имеет вид Тогда и, следовательно, Таким образом, длина всей астроиды равна | ||||||
|
Пример 3
| ||||||
|
Найти длину пространственной кривой, заданной параметрическом виде , где . Решение. Используя формулу получаем Пример 4 | ||||||
|
Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале (рисунок 13). Решение. Воспользуемся формулой Здесь производные равны Тогда длина циклоиды имеет значение
| ||||||
|
Пример 5 Вычислить длину параболы в интервале . Решение. Применяя формулу находим, что Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение В результате длина кривой равна Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей. Следовательно, Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты Таким образом, | ||||||
|
Пример 6 Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 14). Решение. Используем соотношение Длина кардиоиды выражается в виде Заметим, что при , и при . Следовательно, Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
Download 0.6 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|