Gilbert fazosi va uning xossalari. 1-ta’rif

Gilbert fazosi va uning xossalari.
1-ta’rif. fazo quyidagi xossalarga ega bo‘lsin:
1. Ixtiyoriy va uchun va aniqlangan va u ham ga tegishli bo‘lsa (qo‘shish va ko‘paytirish amaliga nisbatan yopiq).
2. Qo‘shish va ko‘paytirish amali uchun:
(o‘rin almashtirish)
(gruppalash xossasi)
(taqsimot xossasi)
birlik elementning mavjudligi
xossalari o‘rinli bo‘lishi.
3. elementning mavjudligi, ya’ni .
4. uchun topilsa va , ya’ni teskari elementning mavjudligi.
1-4-xossalarga ega bo‘lgan fazo chiziqli fazo deyiladi.
Masalan: 1) n- o‘lchovli vektor fazo chiziqli fazo bo‘ladi.
2) dagi uzluksiz funksiyalar fazosi chiziqli fazo bo‘ladi.
2-ta’rif. chiziqli fazoda Skalyar ko‘paytma deb, quyidagi xossalarga ega bo‘lgan
(1)
songa aytiladi.
Skalyar ko‘paytma uchun va bo‘lganda:
(2)
(3)
(4)
(5)
da (2)-(5) xossalar o‘rinli bo‘ladi.
1-misol. fazo va vektorlar fazosi bo‘lsa, Skalyar ko‘paytma
(6)
ko‘rinishda aniqlanadi va buning uchun (2)-(5) xossalar o‘rinli bo‘ladi.
2-misol. fazoda funksiyalar bo‘lsin, u holda Skalyar ko‘paytma
(7)
ko‘rinishda aniqlanadi va buning uchun (2)-(5) xossalar o‘rinli bo‘ladi.
3-misol. chiziqli fazo funksiyadan iborat bo‘lsin.
U xolda va va
uchun


ko‘rinishda aniqlanadi, bunda ham (2)-(5) xossalar o‘rinli bo‘ladi.
Bunday chiziqli fazoda Skalyar ko‘paytma
(8)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bundan esa

kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa, va ekani kelib chiqadi. Bundan
va kelib chiqadi. Bundan va
4-misol. soxada uzluksiz bo‘lgan shartni qanoatlantiruvchi funksiyalarni qaraylik.
Bu funksiyalar uchun (2)-(5) xossalar o‘rinli bo‘ladigan Skalyar ko‘paytmani kiritib bo‘lmaydi, chunki uchun shart bajarilmaydi.
5-misol. chiziqli fazo sifatida sigmentda o‘zi 1-tartibli hosilalari uzluksiz bo‘lgan funksiyalarni qaraymiz.
U xolda Skalyar ko‘paytma
(9)
ko‘rinishda aniqlanadi.
Bunday aniqlashda (2)-(3)- xossalarni tekshirish oson, (4) xossani tekshiramiz
(10)
bu xossa ham bajarildi. (4) xossani bajarilishi (10) ko‘rinadi. (5) xossani tekshiramiz:

6-misol. Avvalgi misoldagi Skalyar ko‘paytmani
(11)
ko‘rinishda kiritsak. (2)-(3)-xossalarni bajarilishini oson tekshiriladi. (5) xossani tekshiramiz

Masalan lekin
Eslatma:
kelib chiqadi.