Gilbert fazosi va uning xossalari. 1-ta’rif

3-ta’rif. chiziqli fazoda (1) Skalyar ko‘paytma (2)-(5) xossalar bilan aniqlangan bo‘lsa
(12)
son ning normasi va
(13)
son esa va ning orasidagi masofa deyiladi.
Norma va masofa uchun avvalgi barcha xossalar o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema. (12) norma va (13) masofa uchun quyidagi xossalar o‘rinli bo‘ladi:
(14) (15)
(16) (17)
(18) (19)
(20) (21)
(22) (23)
4-ta’rif. chiziqli fazoda (12) norma yordamida aniqlangan (13) metrikali fazoni -Gilbert fazosi yoki unitar fazo deyiladi.
5-ta’rif. Agar va lar uchun tenglik bajarilsa, deyiladi va ning limiti deyiladi.
7-misol. 5- misoldagi va uchun Skalyar ko‘paytma aniqlangan fazoni bilan belgilab, limit tushunchasini kiritamiz
(24)
2-teorema. ketma-ketlik gilbert fazosida 1 tadan ortiq bo‘lmagan limitga ega bo‘ladi ya’ni limiti mavjud bo‘lsa u yagona bo‘ladi.
6-ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, bu
ketma-ketlik, fundamental ketma-ketlik deyiladi.
3-teorema. dagi barcha ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik bo‘ladi.
Lekin teskarisi o‘rinli emas, ya’ni barcha fundamental ketma- ketlik ham limitga ega bo‘lavermaydi.
7-ta’rif. Agar uchun bo‘lib bo‘lsa, fazo to‘la fazo deyiladi.
8-ta’rif. element uchun da element topilsa, bu oraliq ning atrofi deyiladi.
9-ta’rif. to‘plam fazoga tegishli elementlar to‘plami bo‘lsa va element ning quyuqlashish nuqtasi deyiladi, agarda atrofda ning dan boshqa elementlari ham bo‘lsa.