Гипотезаларни текшириш. Асосий ва альтернатив гипотезалар. I ва II тур хатоликлар

Гипотезаларни текшириш. Асосий ва альтернатив гипотезалар.
I ва II тур хатоликлар.

1. 
   I ва II тур хатоликлар.
   
2. 
   Содда ва мураккаб гипотезалар.
   
3. 
   Асосий ва альтернатив гипотезалар.
   
4. 
   Энг кувватли критериялар.
   

х₁,х₂,...,х_n - номаълум F(x) таксимот функциясининг танланмаси булсин. Фараз килайлик, куйидаги гипотезани текшириш керак:

Н₀: F(x)=F₀(x) (1)
бу ерда F₀(x)-берилган узлуксиз еки дискрет таксимот функциясидир. Ушбу (1)-чи гипотезани текшириш масаласи мувофикликни текшириш масаласи деб аталади. (1)-чи учун хар кандай критерий мувофиклик критерийси деб аталади.
Мувофиклик гипотезалари оддий ва мураккаб гипотезаларга булинади. Агар F₀(x) тулик аникланган булса, (1) -гипотеза оддий гипотеза булади. Масалан, танланма урта киймати ва дисперсияси берилган нормал таксимот буйича танланган деган гипотеза оддий гипотезадир. Бошка тарафдан, агар танланманинг параметрлари номаълум булган нормал таксимотдан эканлигини текшириш керак булса, бундай гипотеза мураккаб гипотеза булади.

1. 
   Оддий гипотеза учун c² мувофиклик критерийси.
   

(1)-оддий гипотезани курамиз. R- сон укини шундай z_1,z₂,..., z_k

1. 
   z_i z_j=Ж, i№j
   

2. 
   z₁+z₂+...+z_k=R
   

k интервалга буламиз. Шунда F₀(x) функцияси маълум булганлигидан танланма элементларининг бу интервалларга мослик эхтимолини хисоблашимиз мумкин. Буларни п_i (i=1,k) билан, бу интервалларга мос элементларни n_i (i=1,k) билан белгилаймиз.
К. Пирсон (1900) n®Ґ да
Х²= (2)
статистикаси эркинлик даражаси k-1 булган c² таксимоти деб олганда хосил буладиган якинлашиш фаркини текширган ва nп_i узаро якин еки тенг булган холда бу фарк жуда кичик булишини курсатган.
c² критерийсининг кулланиш коидаси куйидагича: c² статистика кийматини (2) формула буйича хисоблаб ва мухимлик даражаси a ни танлаб c² -таксимоти жадвалидан c²_k-1;a нинг критик киймати аникланади.
Агар c² >c²_k-1;a булса, у холда Н₀ гипотезаси кабул килинмайди, агар c^2Јc2_k-1;a булса, у холда Н₀ гипотезаси кабул килинади. Бундай гипотеза кабул килинганда, равшанки, факат биринчи тур хато текширилади.

2. 
   Мураккаб гипотеза учун c² мувофиклик критерийси.
   

Н₀: F(x)=F₀(x;q₁,q₂,...,q_s) (3)
мураккаб гипотезасини куриб чикамиз, яъни F₀(x) функциясининг функционал куриниши маълум, лекин баъзи бир (еки хамма) параметрлари номаълум. Оддий гипотезадан фарки шундаки, назарий П_i эхтимоллари бевосита хисоблаш имконияти йук, чунки улар номаълум S(1,q₂,...,q_s ларга боглик. Шундай килиб, уларни п_i(q₁,q₂,...,q_s) куринишда езишимиз шарт. Номаълум q₁,q₂,...,q_s параметрларни уларнинг q₁,q₂,...,q_s бахо кийматлари билан алмаштирамиз. У холда (2)- статистика куйидаги куринишга келади:
Х²= (4)
Тушунарлики, c² таксимоти хакидаги масала хам узгаради, чунки п_i( лар уз навбатида тасодифий кийматлар булиб, (4) статистиканинг асимптотик таксимоти оддий Н₀ гипотеза билан бир хил куринишга эга эканлиги уз-узидан ошкор эмас.
Р.Фишер (1928) n®Ґ да c² статистикаси (4) агар q₁,q₂,...,q_s номаълум параметрларнинг q₁,q₂,...,q_s бахо кийматлари c² минимум усули билан олинган булса, еки c² минимум модификацияси ердамида группаланган танланмалар буйича аникланган булса, k-s-1 эркинлик даражасига эга булган c²- таксимотга эга эканлигини исботлаган.
Шу билан бирга Фишер агар q₁,q₂,...,q_s кийматлар ихтиерий усул билан аникланган булса, у холда
Р{c²_k-s-1іx}і (5)
эканлигини курсатган.
a мухимлик даражасининг маълум бир киймати учун
уринли булганлигидан, c² критерийсининг кулланиши куйидагича булади. (4) формула буйича c² статистик кийматини хисоблаб, бу ерда q₁,q₂,...,q_s кийматлар бирор усул билан хисобланган ва a мухимлик даражасини танлаб олингандан кейин, c² таксимот жадвалидан c²_k-1;a ва c²_k-s-1;a лар аникланади.
Агар булса, Н₀ гипотеза кабул килинмайди. Агар булса, Н₀ гипотеза кабул килинади.
Агар булса, у холда q₁,q₂,...,q_s кийматларни аниклаш учун c² минимум усули еки c² минимум усули модификацияси кулланилади. Бу холда n®Ґ да c² статистика k-s-1 эркинлик даражасига эга булган c² таксимотига эгадир. Шу сабабдан, агар булса, Н₀ гипотеза кабул килинмайди. Аксинча, агар булса, Н₀ гипотеза кабул килинади.

3. 
   c² критерийси учун интервал танлаш.
   

Шунгача курилган c² критерийсининг асимптотик назарияси танланма элементларини группалаш танланма элементларига боглик булмаган холда аникланадиган интервалларни итиерий равишда аниклашда уринлидир. Бу шарт интерваллар чегараси тасодифий кийматлар эканлиги назарда тутилмаган холларда мавжуддир. Одатда амалиет интервалларга булиш чегараларини аниклаш, баъзида берилган танланманинг умумий куринишини аниклашдан иборатдир. Биз интервалларга булиш усулларини мулохаза килиб ундан кейин асимптотик назарияга таъсирини куриб чикишимиз керак. Олдин интерваллар чегарасини аниклашни куриб чикамиз. Амалда бу масаланинг ечими арифметик кулайликка боглик: интерваллар узунликларда олинади, четкилардан ташкари.
Интервал узунлиги такрибан таксимот дисперсияси билан аникланади, шунда таксимот холати марказий интервалнинг каерда булишини аниклашда ердам беради. Масалан, биз танланма элементлари учун 6 та интервал тузишимиз керак булганда эди, нормал таксимот буйича текширилаетганда, х такрибий киймати ва S² танланма дисперсиясини аниклаб, х+S_i, i=0,1,2 интервалларнинг чегаралари сифатида кабул килардик. У холда куйидаги интерваллар хосил буларди:
]-Ґ;x-2S], ]x-2S;x-S],]x-S;x],]x-x+S],]x+S;x+2S],]x+2S;+Ґ[
Бу тадбир унчалик аник булмасада, унинг ердамида интерваллар чегараларини тасодифий кийматлар холига келтириш мумкин. Шу билан биргаликда, худди шу усул билан аникланган интерваллар учун хисобланган c² статистика шундай асимптотик таксимотга эга эканлигини олдиндан билишнинг иложи йук, хаттоки, интерваллар олдиндан узгармас килиб олинганда хам. Узликсиз таксимотнинг умумий холи учун курилган асимптотик назария интерваллар чегараси танланма буйича аникланганда хам уринли эканлигини Ватсон (1959) курсатиб берган.
Шундай килиб, c² статистиканинг Н₀ гипотеза буйича асимптотик таксимоти курилганда интерваллар чегараларининг тасодифийлигини хисобга олмасак хам булади.

4. 
   Интервалларни куришни тенг эхтимоллик усули.
   

Биз чегараларни аниклашнинг оптимал усулини критерий куввати атамаларида аниклашимиз керак, улар берилган мухимлик даражаси учун критерийга максимум кувват берадиган булсин.
Г. Манн ва А. Вальд (1942) шундай таклиф килган эдилар: берилган К учун интервалларни шундай танлаш керакки, хамма П_i назарий эхтимоллар га тенг булсин. Бу аник ва бир кийматли процедурадир. У одатдаги усулдан (тенг узунликдаги интерваллар) шуниси билан фарк киладики, П_i ларнинг бир хил булиши учун жадваллардан фойдаланишга тугри келади. Буни аник амалга ошириш учун берилган маълумотлар группаланмаган булиши керак.
Мисол. Куйидагича танланма берилган:

0,01	0,I	0,17	0,18	0,22	0,22	0,25	0,25	0,29	0,42
0,46	0,47	0,47	0,56	0,59	0,67	0,68	0,70	0,72	0,76
0,78	0,83	0,85	0,87	0,93	0,IV	1,00	0,01	0,01	1,02
1,03	1,32	1,34	1,37	1,47	1,50	1,52	1,05	1,54	1,59
1,71	1,90	2,10	2,35	2,46	2,46	2,50	3,73	4,07	6,03

Н₀: dF(x)=e^-xdx, 0Јx<Ґ

нолинчи гипотезани текширамиз.

c² учун биз туртта синф ташкил этишимиз керак, дейлик. Бир хил узунликдаги интервалларга группалаш куйидагича булар эди.

Zi	ni	NПi
]0;0.50]	14	19.7
]0.50;1.00]	13	11.9
]1.00;1.50]	10	7.2
]1.50;+Ґ[	13	11.2

П_i нинг кийматлари даражали таксимот жадвалидан олинган. (2)- формуладан c²=3,1 ни аниклаймиз. Эркинлик даражаси 3 га тенг c² таксимот жадвалидан хулоса чикарамизки, мухимлик даражаси a=0,37 дан кичик хар кандай критерий нолинчи гипотезани рад кила олмайди.

Энди тенг эхтимоллик усули кулланилганда берилганларни ишлаш тартибини куриб чикамиз. К=4 булганлиги учун бу эхтимоллар 0,250 га тенг. Даражали таксимот жадвали бу холда интерваллар чегараси учун 0,228, 0,693, 1,386сонларни беради.

Биз куйидаги жадвални тузамиз:

Zi	ni	nПi
]0;0.28]	9	12.5
]0.28;0,69]	9	12,5
]0,69;1.38]	17	12,5
]1.38;+Ґ[	15	12,5

Бунда c² статистикани хисоблаш осон, чунки (2) куйидаги куринишга келтирилади:

c²= (*)
яъни П_i=- (i=1,k) булганлигидан c²=3,9 эканлигини аниклаймиз. c²нинг бу кийматида агар мухимлик даражаси a=0,27 дан ортмаса, Н₀ гипотеза рад килинмайди. Бу каноатли натижадир, аммо тенг эхтимоллик критерийси биринчи критерийга нисбатан талабчандир.

5. 
   Тенг эхтимоллик критерийсида k ни танлаш.
   

K танлашда Г. Манн ва А. Вальдлар куйидаги натижаларни олганлар. F₀(x) узлуксиз таксимот функциясига эга булган оддий гипотезани (1) n хажмли танловда текшириш учун тенг эхтимолли интерваллар c² критерий кулланилсин. F(n,k,D) оркали Н_D: альтернатив синфига карши критерий кувватининг минимумини белгилаймиз. Берилган n ва D лар учун f(n,k,D) функция k нинг бирор кийматида максимум кийматга эришади. Бундай k сонлар чизиги R ни интервалга булишни оптимал сони булади. f(х)- таксимот функцияси булсин ва х_a-f(х_a)=1-a тенгламанинг ечими булсин. Г. Манн ва А. Вальд теоремаси шуни таъкидлайдики, n®Ґда
(6)
Шуни таъкидлаш керакки, бу натижа таксимот функцияларининг узоклашиши руй берганда энг нокулай альтернативларга карши кувватнинг максимуми шартидан олинган. Агар факат «текис» альтернативларни назарда тутсак, оптимал сони k анча кичик булади. Уильямс (1950) Г. Манн ва А.