Gosudarstwennyj komitet rossijskoj federacii po wys{emu obrazowani`

(3.11)
3
X
k
=0
u
k
r
k
u
p
=
q
mc
2
3
X
k
=0
F
pk
u
k
:

x
4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii
.
135
w OTLI^IE OT URAWNENIJ
(11.9)
IZ TRETXEJ GLAWY
,
OPISYWA
-
@]IH DINAMIKU OTDELXNYH ^ASTIC
,
URAWNENIQ
(3.10)
QWLQ@TSQ
URAWNENIQMI W ^ASTNYH PROIZWODNYH OTNOSITELXNO KOMPONENT
WEKTORNOGO POLQ
u
(
r
).
oNI OPISYWA@T DINAMIKU PYLEWOGO
OBLAKA K KONTINUALXNOM PREDELE
.
uRAWNENIE NA SKALQRNOE PO
-
LE
(
r
)
POLU^AETSQ IZ ZAKONA SOHRANENIQ ^ISLA ^ASTIC
(3.4).
oB_EDINIW \TI DWA URAWNENIQ
,
POLU^AEM SISTEMU
(3.12)
3
X
k
=0
u
k
r
k
u
p
=
F
p
mc;
3
X
k
=0
u
k
r
k
=
?
3
X
k
=0
r
k
u
k
:
sISTEMA URAWNENIJ
(3.12)
DAET POLNOE OPISANIE DINAMIKI PY
-
LEWOGO OBLAKA
.
mODELX PYLEWIDNOJ MATERII MOVNO NESKOLXKO OBOB]ITX
,
ESLI WKL@^ITX W RASSMOTRENIE ^ASTICY RAZNYH SORTOW
.
tOGDA
DLQ KAVDOGO SORTA ^ASTIC OPREDELENO SWOE EDINI^NOE WEKTOR
-
NOE POLE
u
(
i;
r
)
I SWOE POLE KONCENTRACII
(
i;
r
).
fORMULY
(3.2)
I
(3.3)
OBOB]A@TSQ TAK
:
j
(
r
) =
n
X
i
=1
q
(
i
) (
i;
r
)
;
(
r
) =
n
X
i
=1
m
(
i
) (
i;
r
)
:
zDESX
(
i;
r
) =
c
(
i;
r
)
u
(
i;
r
).
kAVDAQ PARA POLEJ
u
(
i;
r
)
I
(
i;
r
)
UDOWLETWORQET URAWNENIQM
(3.12),
IZ KOTORYH WYTEKAET
WYPOLNENIE ZAKONOW SOHRANENIQ ZARQDA I MASSY
.
x
4.
dEJSTWIE DLQ PYLEWIDNOJ MATERII
.
rASSMOTRIM DINAMIKU PYLEWIDNOJ MATERII W \LEKTROMAG
-
NITNOM POLE S TO^KI ZRENIQ LAGRANVEWOGO FORMALIZMA
.
dLQ

136
glawa
IV.
lagranvew formalizm
\TOGO NEOBHODIMO WYPOLNITX PEREHOD K KONTINUALXNOMU PRE
-
DELU W DEJSTWII
(1.8).
dLQ PROSTOTY RASSMOTRIM PYLEWOE
OBLAKO
,
SOSTOQ]EE IZ ^ASTIC ODNOGO SORTA
.
oPUSKAQ DETALI
PREDELXNOGO PEREHODA
,
WYPI EM FUNKCIONAL DEJSTWIQ
(1.8)
W
KONTINUALXNOM PREDELE
:
(4.1)
S
=
?
m
V
2
Z
V
1
p
g
(
;
)
p
?
det
g d
4
r
?
?
q
c
2
V
2
Z
V
1
g
(
;
A
)
p
?
det
g d
4
r
?
?
1
16
c
V
2
Z
V
1
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
F
pk
p
?
det
g d
4
r:
wMESTO WYWODA
(4.1)
IZ
(1.8)
MY WYPOLNIM KOSWENNU@ PROWER
-
KU PRAWILXNOSTI PREDELXNOGO PEREHODA
.
dLQ \TOGO WYWEDEM
URAWNENIE
(3.11)
IZ PRINCIPA \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ DLQ
FUNKCIONALA
(4.1).
dLQ OPISANIQ PYLEWIDNOJ MATERII W
(4.1)
MY WYBRALI WEK
-
TORNOE POLE
(
r
)
IZ
(3.1).
pOLQ
u
(
r
)
I
(
r
)
MOGUT BYTX
WYRAVENY ^EREZ WEKTORNOE POLE
(
r
):
c
=
j
j
=
p
g
(
;
)
;
u
=
c :
(4.2)
pRI RASSMOTRENII WARIACIJ POLQ
(
r
)
MY DOLVNY POMNITX
,
^TO KOMPONENTY \TOGO POLQ NE QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI FUNK
-
CIQMI
.
oNI UDOWLETWORQ@T URAWNENI@
(3.4).
dLQ RAZRE ENIQ
URAWNENIQ
(3.4)
WOSPOLXZUEMSQ SLEGKA MODIFICIROWANNYM WA
-
RIANTOM TEOREMY
10.1
IZ TRETXEJ GLAWY
.

x
4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii
.
137
tEOREMA
4.1.
pUSTX
M
|
NEKOTOROE
n
-
MERNOE PROSTRANST
-
WO
(
n
2
),
OSNA]ENNOE METRIKOJ
g
ij
.
dLQ WSQKOGO WEKTORNOGO
POLQ W \TOM PROSTRANSTWE
,
IME@]EGO NULEWU@ DIWERGENCI@
OTNOSITELXNO METRI^ESKOJ SWQZNOSTI
(4.3)
n
X
p
=1
r
p p
= 0
;
SU]ESTWUET KOSOSIMMETRI^NOE TENZORNOE POLE
'
WALENTNOSTI
(2
;
0)
,
TAKOE
,
^TO WYPOLNQ@TSQ SOOTNO ENIQ
(4.4)
p
=
n
X
q
=1
r
q
'
pq
:
dOK-WO.
pRI ZAPISI SOOTNO ENIQ
(4.3)
WOSPOLXZUEMSQ IZ
-
WESTNOJ FORMULOJ
(11.3)
IZ TRETXEJ GLAWY DLQ KOMPONENT MET
-
RI^ESKOJ SWQZNOSTI
.
|TO DAET
n
X
p
=1
r
p p
=
n
X
p
=1
@
p
@r
p
+
n
X
p
=1
n
X
s
=1
?
pps s
=
n
X
p
=1
@
p
@r
p
+
+ 12
n
X
p
=1
n
X
s
=1
n
X
k
=1
g
pk
@g
pk
@r
s
+
@g
ks
@r
p
?
@g
ps
@r
k
s
:
zAMETIM
,
^TO POSLEDNIE DWE PROIZWODNYE METRI^ESKOGO TENZO
-
RA W SKOBKAH SOKRA]A@TSQ PRI SUMMIROWANII PO
p
I
k
.
|TO
WYTEKAET IZ SIMMETRI^NOSTI
g
pk
.
oTS@DA
(4.5)
n
X
p
=1
r
p p
=
n
X
p
=1
@
p
@r
p
+ 12
n
X
p
=1
n
X
s
=1
n
X
k
=1
g
sk
@g
ks
@r
p
p
=
=
n
X
p
=1
@
p
@r
p
+ 12
n
X
p
=1
tr
g
?1
@g
@r
p
p
:

138
glawa
IV.
lagranvew formalizm
s CELX@ DALXNEJ EGO PREOBRAZOWANIQ POLU^ENNOGO WYRAVENIQ
(4.5)
WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNOJ FORMULOJ DLQ LOGARIFMI^ESKOJ
PROIZWODNOJ DETERMINANTA
:
(4.6)
@
ln
j
det
g
j
@r
p
= tr
g
?1
@g
@r
p
:
pODSTANOWKA
(4.6)
W
(4.5)
PRIWODIT
(4.5)
K SLEDU@]EMU WIDU
:
(4.7)
n
X
p
=1
r
p p
=
1
p
j
det
g
j
n
X
p
=1
@
(
p
p
j
det
g
j
)
@r
p
:
pRODELAEM ANALOGI^NYE WY^ISLENIQ DLQ PRAWOJ ^ASTI
(4.4),
U^ITYWAQ KOSOSIMMETRI^NOSTX POLQ
'
pq
I SIMMETRI^NOSTX
KOMPONENT SWQZNOSTI
?
kpq
.
oNI PRIWODQT K SOOTNO ENI@
(4.8)
n
X
q
=1
r
q
'
pq
=
1
p
j
det
g
j
n
X
q
=1
@
(
'
pq
p
j
det
g
j
)
@r
q
:
oBOZNA^IM
j
p
=
p
j
det
g
j
p
I
pq
=
p
j
det
g
j
'
pq
.
tEPERX
,
ISHODQ IZ
c
OOTNO ENIJ
(4.7)
I
(4.8),
LEGKO SOOBRAZITX
,
^TO
DLQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY
4.1
OSTAETSQ LI X PRIMENITX
TEOREMU
10.1
IZ TRETXEJ GLAWY
.
zAME^ANIE
.
tEOREMA
10.2,
WOOB]E GOWORQ
,
NE IMEET PRQMO
-
GO OBOB]ENIQ NA SLU^AJ PROSTRANSTW
,
OSNA]ENNYH METRIKOJ
.
oNA OBOB]AETSQ TOLXKO DLQ METRIK
g
ij
,
IME@]IH NULEWOJ
TENZOR KRIWIZNY
R
skpq
= 0.
oPREDELIM DEFORMACI@ POLQ PODOBNO TOMU TOMU KAK BYLA
OPREDELENA DEFORMACIQ WEKTORNOGO POTENCIALA
A
W
x
1:
(4.9)
^
p
(
r
) =
p
(
r
) +
"
p
(
r
) +
::: :
pOLQ
^
I UDOWLETWORQ@T URAWNENI@
(3.4).
sLEDOWATELXNO
,

x
4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii
.
139
\TOMU URAWNENI@ UDOWLETWORQET I POLE W
(4.9).
pRIMENIM
DOKAZANNU@ TEOREMU
4.1
K WEKTORNOMU POL@
:
(4.10)
p
=
3
X
k
=0
r
k
'
pk
:
pOLE
'
pk
W
(4.10)
MOVET BYTX PROIZWOLXNYM
.
oDNAKO
,
MY
WYBEREM EGO W SPECIALXNOJ FORME
:
(4.11)
'
pk
=
p
h
k
?
h
p k
:
tAKOJ WYBOR MOVET BYTX MOTIWIROWAN SLEDU@]EJ TEOREMOJ
.
tEOREMA
4.2.
dLQ L@BYH DWUH WEKTORNYH POLEJ I
6
= 0
,
UDOWLETWORQ@]IH URAWNENI@
(3.4)
,
SU]ESTWUET WEKTORNOE POLE
h
,
TAKOE
,
^TO WYPOLNENO SOOTNO ENIE
p
=
3
X
k
=0
r
k
(
p
h
k
?
h
p k
)
:
wYBOR
(4.11)
PRIWODIT K SLEDU@]EMU WYRAVENI@ DLQ POLQ
^:
(4.12)
^
p
(
r
) =
p
(
r
) +
"
3
X
k
=0
r
k
(
p
h
k
?
h
p k
) +
::: :
wELI^INY
h
i
(
r
)
W
(4.12)
WYBIRA@TSQ GLADKIMI FUNKCIQMI
,
OTLI^NYMI OT NULQ LI X W PREDELAH NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ
OBLASTI W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO
.
pRI PODSTANOWKE
(4.12)
W FUNKCIONAL DEJSTWIQ
(4.1)
WOS
-
POLXZUEMSQ SLEDU@]IM RAZLOVENIEM DLQ
p
g
(^
;
^):
p
g
(^
;
^) =
p
g
(
;
) +
"
p
g
(
;
)
3
X
p
=0
3
X
q
=0
p
r
k
'
pk
+
::: :

140
glawa
IV.
lagranvew formalizm
aNALOGI^NOE RAZLOVENIE IMEETSQ I DLQ PODINTEGRALXNOGO WY
-
RAVENIQ WO WTOROM INTEGRALE
(4.1):
g
(^
;
A
) =
g
(
;
A
)+
"
3
X
p
=0
3
X
k
=0
A
p
r
k
'
pk
+
::: :
pRI PODSTANOWKE \TIH RAZLOVENIJ W
(4.1)
U^TEM SOOTNO ENIQ
(4.2).
dLQ
S
D
EF
\TO DAET
(4.13)
S
D
EF
=
S
?
"m
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
u
p
r
k
'
pk
p
?
det
g d
4
r
?
?
"q
c
2
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
A
p
r
k
'
pk
p
?
det
g d
4
r
+
::: :
s CELX@ DALXNEJ EGO PREOBRAZOWANIQ
(4.13)
WOSPOLXZUEMSQ
FORMULOJ oSTROGRADSKOGO
-
gAUSSA
.
w PROSTRANSTWE
,
OSNA]EN
-
NOM METRIKOJ
,
\TA FORMULA ZAPISYWAETSQ TAK
:
(4.14)
Z
3
X
k
=0
r
k
z
k
p
?
det
g d
4
r
=
Z
@
g
(
z
;
n
)
dV:
zDESX
z
0
,
z
1
,
z
2
,
z
3
|
KOMPONENTY GLADKOGO WEKTORNOGO POLQ
z
,
A
n
|
EDINI^NYJ WEKTOR NORMALI K GRANICE OBLASTI
.
dLQ
PREOBRAZOWANIQ PERWOGO INTEGRALA W FORMULE
(4.13)
POLOVIM
z
k
=
P
3
p
=0
u
p
'
pk
.
tOGDA W LEWOJ ^ASTI
(4.14)
IMEEM
3
X
k
=0
r
k
z
k
=
3
X
p
=0
3
X
k
=0
u
p
r
k
'
pk
+
3
X
p
=0
3
X
k
=0
r
k
u
p
'
pk
:
Cop
yRigh
t
c
{ARIPO
W
r.a.,
1997.

x
4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii
.
141
pRAWAQ ^ASTX
(4.14)
ZANULQETSQ W SILU ZANULENIQ
'
pk
NA GRA
-
NICE OBRASTI
.
pO\TOMU
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
u
p
r
k
'
pk
p
?
det
gd
4
r
=
?
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
r
k
u
p
'
pk
p
?
det
gd
4
r:
aNALOGI^NYM OBRAZOM PREOBRAZUETSQ WTOROJ INTEGRAL W
(4.13).
w CELOM VE DLQ
S
D
EF
POLU^AEM
(4.15)
S
D
EF
=
S
+
"m
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
r
k
u
p
'
pk
p
?
det
g d
4
r
+
+
"q
c
2
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
r
k
A
p
'
pk
p
?
det
g d
4
r
+
::: :
|KSTREMALXNOSTX DEJSTWIQ
S
OZNA^AET
,
^TO LINEJNAQ PO
"
^ASTX W FORMULE
(4.15)
DOLVNA ZANULITXSQ
:
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
m
r
k
u
p
+
q
c
2
r
k
A
p
'
pk
p
?
det
g d
4
r
= 0
:
pODSTAWIM WYRAVENIE
(4.11)
DLQ
'
pk
W POLU^ENNOE RAWENSTWO
.
tOGDA ONO PREOBRAZUETSQ K WIDU
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
m
r
k
u
p
+
q
c
2
r
k
A
p p
h
k
p
?
det
g d
4
r
=
=
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
m
r
k
u
p
+
q
c
2
r
k
A
p k
h
p
p
?
det
g d
4
r:

142
glawa
IV.
lagranvew formalizm
pOMENQEM MESTAMI INDEKSY
k
I
p
WO WTOROM INTEGRALE
.
pOSLE
\TOGO INTEGRALY MOVNO BUDET OB_EDINITX W ODIN INTEGRAL
:
(4.16)
Z
3
X
k
=0
3
X
p
=0
m
r
k
u
p
?
m
r
p
u
k
+
q
c
2
r
k
A
p
?
?
q
c
2
r
p
A
k p
h
k
p
?
det
g d
4
r
= 0
:
tEPERX U^TEM
,
^TO
h
k
=
h
k
(
r
)
W POLU^ENNOM RAWENSTWE
|
\TO
PROIZWOLXNYE GLADKIE FUNKCII
,
RAWNYE NUL@ NA GRANICE I
WS@DU WNE OBLASTI
.
pO\TOMU IZ RAWENSTWA NUL@ INTEGRALA
(4.16)
SLEDUET ZANULENIE KAVDOGO SLAGAEMOGO W SUMME PO
k
W
PODINTEGRALXNOM WYRAVENII
:
(4.17)
3
X
p
=0
m
r
k
u
p
?
m
r
p
u
k
+
q
c
2
F
kp p
= 0
:
zDESX MY U^LI SOOTNO ENIE
(11.5)
IZ TRETXEJ GLAWY
,
SWQ
-
ZYWA@]EE TENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ I ^ETYREHMERNYJ
WEKTORNYJ POTENCIAL
.
dLQ TOGO
,
^TOBY PRIWESTI POLU^ENNOE URAWNENIE
(4.17)
K
OKON^ATELXNOMU WIDU
,
WOSPOLXZUEMSQ SOOTNO ENIQMI
(4.2),
KO
-
TORYE SWQZYWA@T WEKTORNOE POLE S EDINI^NYM WEKTORNYM
POLEM
u
:
p
=
c u
p
.
iZ EDINI^NOSTI
u
IMEEM
(4.18)
3
X
p
=0
u
p
r
k
u
p
= 0
:
u^ET
(4.18)
PRIWODIT URAWNENIE
(4.17)
K WIDU
(4.19)
3
X
p
=0
u
p
r
p
u
k
=
q
mc
2
3
X
p
=0
F
kp
u
p
:
nETRUDNO WIDETX
,
^TO
(4.19)
W TO^NOSTI SOWPADAET S POLU^EN
-
NYM RANEE URAWNENIEM
(3.11).
|TOT REZULXTAT OPRAWDYWAET

x
5.
urawneniq |lektromagnitnogo polq
.
143
ISPOLXZOWANIE DEJSTWIQ
(4.1)
DLQ OPISANIQ ZARQVENNOJ PYLE
-
WIDNOJ MATERII W \LEKTROMAGNITNOM POLE
.
uPRAVNENIE
4.1.
dOKAVITE
,
^TO DLQ L@BOGO KOSOSIMMET
-
RI^NOGO TENZORNOGO POLQ
'
pq
,
WEKTORNOE POLE
,
OPREDELENNOE
FORMULOJ
(4.4)
,
IMEET NULEWU@ DIWERGENCI@
,
T
.
E
.
UDOWLETWO
-
RQET URAWNENI@
(3.4)
.
uPRAVNENIE
4.2.
dOKAVITE
,
TEOREMU
4.2.
dLQ \TOGO IS
-
POLXZUJTE SLEDU@]IJ FAKT
,
KOTORYJ IZWESTEN KAK TEOREMA O
SPRQMLENII WEKTORNOGO POLQ
.
tEOREMA
4.3.
dLQ WSQKOGO WEKTORNOGO POLQ
6
= 0
SU]EST
-
WUET TAKAQ KRIWOLINEJNAQ SISTEMA KOORDINAT
r
0
,
r
1
,
r
2
,
r
3
,
W
KOTOROJ
0
= 1
,
1
= 0
,
2
= 0
,
3
= 0
.
uPRAVNENIE
4.3.
dOKAVITE TEOREMU
4.3
O SPRQMLENII WEK
-
TORNOGO POLQ
.
uPRAVNENIE
4.4.
wYWEDITE FORMULU oSTROGRADSKOGO
-
gA
-
USSA
(4.14)
DLQ PROSTRANSTWA S METRIKOJ
,
ISHODQ IZ SLEDU@]EGO
INTEGRALXNOGO SOOTNO ENIQ W
R
n
:
Z
@f
(
r
)
@r
i
d
n
r
=
Z
@
f
(
r
)
dr
1
::: dr
i
?1
dr
i
+1
::: dr
n
:
x
5.
uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ
.
w \TOM PARAGRAFE MY PRODOLVIM IZU^ENIE FUNKCIONALA
DEJSTWIQ
(4.1).
|TOT FUNKCIONAL OPISYWAET PYLEWOE OBLAKO
IZ ^ASTIC MASSY
m
I ZARQDA
q
W \LEKTROMAGNITNOM POLE
.
w
PREDYDU]EM PARAGRAFE MY UBEDILISX W TOM
,
^TO PRIMENENIE
PRINCIPA \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ DLQ
S
OTNOSITELXNO POLQ
DAET URAWNENIQ DINAMIKI DLQ POLQ SKOROSTEJ ^ASTIC W
PYLEWOM OBLAKE
.
tEPERX PRIMENIM PRINCIP \KSTREMALXNOGO
DEJSTWIQ OTNOSITELXNO WEKTORNOGO POTENCIALA
A
,
ZADA@]EGO

144
glawa
IV.
lagranvew formalizm
\LEKTROMAGNITNOE POLE
.
dEFORMACI@ WEKTORNOGO POTENCIALA
OPREDELIM W SOOTWETSTWII S
(1.9), (1.10), (1.11)
I
(1.12):
(5.1)
^
A
i
(
r
) =
A
i
(
r
) +
"h
i
(
r
) +
::: :
dLQ KOMPONENT TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ WYWODIM
(5.2)
^
F
ij
=
F
ij
+
"
(
r
i
h
j
?
r
j
h
i
) +
::: :
pRI PODSTANOWKE
(5.2)
W FUNKCIONAL DEJSTWIQ
(4.1)
PRODELAEM
SLEDU@]IE WY^ISLENIQ
:
3
X
p
=0
3
X
k
=0
^
F
pk
^
F
pk
=
3
X
i
=0
3
X
j
=0
3
X
p
=0
3
X
k
=0
^
F
pk
^
F
ij
g
pi
g
kj
=
=
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
F
pk
+ 2
"
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
(
r
p
h
k
?
r
k
h
p
) +
::: :
s U^ETOM KOSOSIMMETRI^NOSTI
F
pk
POLU^ENNOE RAZLOVENIE
MOVNO E]E BOLEE UPROSTITX I PRIWESTI K WIDU
3
X
p
=0
3
X
k
=0
^
F
pk
^
F
pk
=
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
F
pk
+ 4
"
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
r
p
h
k
+
::: :
aNALOGI^NYE WY^ISLENIQ PRI PODSTANOWKE
(5.1)
W
(4.1)
DA@T
g
(
;
^
A
) =
g
(
;
A
)+
"
3
X
k
=0
k
h
k
+
::: :
w ITOGE DLQ DEFORMACII DEJSTWIQ
(4.1)
POLU^IM RAZLOVENIE
S
D
EF
=
S
?
"q
c
2
Z
3
X
k
=0
k
h
k
p
?
det
g d
4
r
?

x
5.
urawneniq |lektromagnitnogo polq
.
145
?
"
4
c
Z
3
X
p
=0
3
X
k
=0
F
pk
r
p
h
k
p
?
det
g d
4
r
+
::: :
pREOBRAZUEM WTOROJ INTEGRAL W POLU^ENNOM RAZLOVENII DLQ
S
D
EF
PRI POMO]I FORMULY oSTROGRADSKOGO
-
gAUSSA
(4.14).
dLQ
\TOGO POLOVIM
z
p
=
P
3
k
=0
F
pk
h
k
I U^TEM ZANULENIE