Guruh: 5es 22 kem bajardi: Usmanov Jasur Abdujabbar oʻgʻli Qabul qildi: Toshkent -2023 Reja: Matritsalar

Matritsa – bu sonlar (elementlar) massivining satr hamda ustunlarda berilgan va kichik qavslarga olingan to‘g‘ri burchakli jadvalidir². Shuningdek, matritsaning elementlari algebraik belgilardan yoki matematik funksiyalardan iborat bo‘lishi mumkin.
Matritsaning o‘lchami uning satrlari soni va ustunlari soni bilan aniqlanadi.
Matritsaning o‘lchamini ifodalash uchun mn belgi ishlatiladi. Bu belgi matritsaning mta satr va nta ustundan tashkil topganini bildiradi. Matritsaning o‘zi lotin alifbosining bosh harflaridan biri bilan belgilanadi va uning elementlari jadvali kichik qavsga olinadi.
Masalan,

32 o‘lchamli matritsa	23 o‘lchamli matritsa	22 o‘lchamli matritsa
2 5   A  0 7 3 1 	1 4 7 B   2 5 6 	sin x  cosx C  cosx sin x  

A matritsaning i -satr va j -ustunda joylashgan elementi a_ij bilan belgilanadi.

A (a_ij ) , (i 1,m, j 1,n) yoki A|| a_ij ||, (i 1,m, j 1,n) yozuv A matritsa a_ij elementlardan tashkil topganini bildiradi:

 a11 a₁₂  a1n a11 a₁₂  a1n
 
A  (aij )  a21 a₂₂  a2n ; A || aij ||a21 a₂₂  a2n.
 
am1 am2  amn am1 am2  a_mn
1n o‘lchamli A(a₁₁ a₁₂ ... a_1n ) matritsaga satr matritsa yoki satrvektor deyiladi.
 a₁₁ 
 
m1 o‘lchamli A  ^_^a_...^{21 }_ matritsaga ustun matritsa yoki ustun-vektor
 
am1_
deyiladi. nn o‘lchamli maritsaga n- tartibli kvadrat matritsa deyiladi.
Kvadrat matritsaning chap yuqori burchagidan o‘ng quyi burchagiga yo‘nalgan a₁₁,a₂₂,...,a_nn elementlaridan tuzilgan diagonaliga uning bosh diagonali,
o‘nq yuqori burchagidan chap quyi burchagiga yo‘nalgan a_1n,a_2(n1),...,a_n1 elementlardan tuzilgan diagonaliga uning yordamchi diagonali deyiladi.
Bosh diagonalidan yuqorida (pastda) joylashgan barcha elementlari nolga teng bo‘lgan

a11  A  0   0 

a12 a22  0

   

a1n   a11    a2n   A  ^a21       ann   an1

0 a22  an2

   

0   0     ann 

matritsaga yuqoridan uchburchak (quyidan uchburchak) matritsa deyiladi. Bosh diagonalda joylashmagan barcha elementlari nolga teng bo‘lgan

a11  A  0   0 

0 a22  0

   

0   0     ann 

matritsaga diagonal matritsa deyiladi.
Barcha elementlari birga teng bo‘lgan diagonal matritsaga birlik matritsa deyiladi va I harfi bilan belgilanadi.
Barcha elementlari nolga teng bo‘lgan ixtiyoriy o‘lchamdagi matritsaga nol matritsa deyiladi va O harfi bilan belgilanadi.
A matritsada barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish natijasida hosil qilingan A^T matritsaga A matritsaning transponirlangan matritsasi deyiladi: (a_ij )^T  (a _ji ). Agar A  A^T bo‘lsa, A matritsaga simmetrik matritsa deyiladi.
1.2. Matritsalar ustida arifmetik amallar

Maritsalarning tengligi

Bir xil o‘lchamli A (a_ij ) va B  (b_ij ) matritsalarning barcha mos elementlari teng, ya’ni a_ij  b_ij bo‘lsa, bu matritsalarga teng matritsalar deyiladi va AB deb yoziladi.

A B  aij bij bacha i 1,m, j 1,n uchun

Matritsani songa ko‘paytirish

1- ta’rif. A  (a_ij ) matritsaning  songa ko‘paytmasi deb, elementlari c_ij a_ij kabi aniqlanadigan C A matritsaga aytiladi.

C A



cij aij .

2 1 0
1.1-misol. A _{3 4 1}_ bo‘lsin. 3A ni toping. _ Yechish.
2 1 0 32 3(1) 30  6 3 0 
3A33 4 1 33 34 3(1) 9 12 3.


Matritsalarni qo‘shish va ayirish

Matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari bir xil o‘lchamli matritsalar uchun kiritiladi. Bunda yig‘indi matrisa qo‘shiluvchi matritsalar bilan bir xil o‘lchamga ega bo‘ladi.
2-ta’rif. A  (a_ij ) va B  (b_ij ) matritsalarning yig‘indisi deb, elementlari c_ij  a_ij  b_ij kabi aniqlanadigan C  A B matritsaga aytiladi.

C  A B



cij  aij bij .

1 1 4 2 3 2
1.2-misol. A  3 0 1 va B1 0 2 bo‘lsin. AB ni toping.
Yechish.
A B  13 01 14  _12 03 22 1321 0103 14 (22) 34 02 61. 
 A (1) A matritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb ataladi.
3-ta’rif. A  (a_ij ) va B  (b_ij ) matritsalarning ayirmasi deb C  A B  A (B) matritsaga aytiladi. Bunda C matritsaning elementlari
c_ij  a_ij  (b_ij )  a_ij b_ij kabi topiladi.

C  A B



cij  aij bij .

1.3-misol. A  22 13  Yechish.	2 1 3 4 va B  2 1 	2 1 bo‘lsin. AB ni toping.
A B 22 13 24 12 	3 2  2 1  1 1 2  2	33 2  2  1  6 0  11 4  (1) 0  2 5.
Matritsalar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega ^3.

A,B,C,O ^matritsalar mn o‘lchsamli va ,_- skalyar sonlar bo‘lsa, u holda:
1^o. ABB A; 2^o. (A B) С  A (B C);

3^o. AOA; 4^o. A (A) O;

5^o. (A B) AB; 6^o. ()AAA;
7^o.(A) (A)  ()A; 8^o.1 A A;

9o. (A B)T  AT  BT; 10o. (A)T AT;
11^o. A C  B bo‘lsa, C  B  A bo‘ladi; 12^o. AO bo‘lsa,  0 yoki AO bo‘ladi; 13^o. AB va  0 bo‘lsa, A B bo‘ladi.
Isboti. 1^o  4^o xossalarning isboti bevosita 2-ta’rifdan kelib chiqadi.
5^o -xossani qaraymiz. A va B bir xil o‘lchamli matritsalar bo‘lsin.
U holda 1 va 2-ta’riflarga ko‘ra istalgan i, j da birinchidan
A B  (a_ij  b_ij ) yoki (A B) (a_ij b_ij ) (a_ij ) (b_ij )

va ikkinchidan
(a_ij ) (b_ij ) AB
bo‘ladi. Oxirgi ikkita tenglikdan (A B) AB bo‘lishi kelib chiqadi ⁴.
Qolgan xossalar shu kabi isbotlanadi.

3. 
   Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp. 92-112
   
4. 
   E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265
   

Matritsalarni ko‘paytirish

Asatr martitsa va Bustun matritsa bir xil sondagi elementlarga ega bo‘lsin deylik. Bunda A satrning B ustunga ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:

AB  a11

a12

...

b11   b12  a11b11  a12b12 ... a1nb1n, a1n ...    b1n ^

ya’ni ko‘paytma matritsalarning mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi³.
Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi deb yuritiladi.
Ikki matritsani ko‘paytirish amali moslashtirilgan matritsalar uchun kiritiladi. A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lsa, A va B matritsalar moslashtirilgan deyiladi.
4-ta’rif. m p o‘lchamli A  (a_ij )matritsaning pn o‘lchamli B  (b_jk ) matritsaga ko‘paytmasi AB deb, c_ik elementi A matritsaning i -satrini B matritsaning j -ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi bilan, ya’ni
p c_ik  a_i1b_1k  a_i2b_2k  a_ipb_pk  a_irb_rk , i 1,...,m, k 1,...,n
r1
(qo‘shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan mn o‘lchamli C  (c_ik ) matritsaga aytiladi.
    ...     ...  ...  
   
_... ... ... ... ..._   ...  ...  
^    ... i   ...  ...  ^
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

^    ...     ... k ...  
1.4-misol. Berilgan matritsalarni ko‘paytiring.