Guruh fa/101 Talabaning F. I. Sh Qudratova Surayyo

Teorema-1. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog'lanishli bo'lishi uchun bu oila vektorlarining kollinear bo'lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli ikkita va vektorlar chizikli bog'lanishli bo'lsa, kamida bittasi noldan farkli sonlari mavjud bo'lib, tenglik bajariladi. Agar bo'lsa, tenglikni hosil qilamiz. Bu esa birinchi tasdiqqa ko'ra va vektorlarning kollinear ekanligini ko'rsatadi.
Va aksincha, va vektorlar kollinear bo'lsin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to'gri chiziqda yotadi. Bu to'gri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va V harflar bilan belgilaymiz: , . Vektorlardan bittasi, misol uchun noldan farqli vektor bo'lsin. Demak, va nuqta kesmani biror nisbatda bo'ladi: yoki
Endi =- tenglikni ko'rsatamiz. Agar vektorlar yo'nalishi bir хil bo'lsa, nuqta kesmaga tegishli emas va l<0. Agar vektorlar yo'nalishi qarama qarshi bo'lsa, l>0 bo'ladi. Shuning uchun va - vektorlarning yo'nalishlari bir хil. Ularning uzunliklari ham teng:
½ ½=½ ½=½ ½½ ½=½ ½½ ½=½-l ½.
Demak, bu vektorlar tengdir. Endi =- tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Demak, va vektorlar chiziqli bog'lanishli oilani tashkil qiladi.
Teorema-2.

1. 
   Vektorlar oilasiga nol vektor tegishli bo'lsa, bu oila chiziqli bog'lanishlidar.
   
2. 
   Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog'lanishli vektorlar oilasini o'z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog'lanishlidir.
   

Isbot.

1. 
   Berilgan oilada bo'lsa, , =1 , sonlar uchun tenglik o'rinli bo'ladi.
   
2. 
   Berilgan oilada bir nechta , , vektorlar chiziqli boglanishli oilani tashkil qilsa, ularning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo'ladi :
   

Biz agar , va , tengliklar bilan n ta l₁, l₂, l₃,..., l_n sonlarni aniqlasak

tenglikni hosil qilamiz.