Guruh fa/101 Talabaning F. I. Sh Qudratova Surayyo

Teorema-3. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog'lanishli bo'lishi uchun ularning komplanar bo'lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli uchta va vektorlar chiziqli bog'lanishli bo'lsa, ularning komplanarligini isbotlaymiz. Chiziqli bog'lanishlilikning ta'rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli a,b,g sonlar uchun
a
tenglik o'rinli bo'ladi. Aniqlik uchun g noldan farqli bo'lsin, unda avvalgi tenglikdan
= – –
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ=a/g, μ= b/g belgilashlarni kiritib
= λ tenglikni hosil qilamiz Agar va vektorlarning boshi bitta umumiy O nuqtaga joylashtirilgan bo'lsa, oхirgi tenglikdan vektor va vektorlarga qurilgan parallelogarmm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir.
Va aksincha, va vektorlar komplanar bo'lsin. Ular chiziqli bog'liqligini isbotlaymiz.

Chizma-6

Berilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bo'lgan holni chiqarib tashlaymiz. Teorema-1 ga asosan, ushbu vektorlar jufti chiziqli boglik bo'lar edi va berilagan uchta vektor ham chiziqli boglikligi kelib chiqar edi. Shuning uchun va vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bo'lmagan holni ko'rib chiqamiz (хususan, ular orasida nol vektor ham yo'q). Vektorlarni bitta tekislikka ko'chirib, ularning boshlarini nuqtaga joylashtiramiz (Chizmaga qarang). Keyin vektorning uchi orqali va vektorlarga parallel to'gri chiziqlar o'tkazamiz, vektor yotgan to'gri chiziqning vektorga parallel to'gri chiziq bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz va vektor yotgan to'gri chizikning vektorga parallel to'gri chiziq bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi, va vektorlar kollinear emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni ko'shishning parallelogramm koidasiga ko'ra vektor va vektorlar summasiga teng, ya'ni

vektor noldan farkli vektorga kollinear (u bilan bir to'gri chiziqda yotuvchi), demak, shunday λ haqiiy son topiladiki,

tenglik o'rinli bo'ladi.Хuddi shunga o'хshash, tenglik ham o'rinli. Bu tengliklardan

tenglik kelib chiqadi.Oхirgi tenglikni ko'rinishda yozib olish mumkin. Bu tenglikdagi λ, μ va –1 sonlarining kamida bittasi noldan farqli bo'lganligi sababli, oхirgi tenglik va vektorlarning chiziqli bog'lanishligini ifodalaydi. Teorema isbotlandi.
Natija-1. Agar va vektorlar komplanar bo'lmasa, ular chiziqli erkli bo'ladilar.
Natija-2. Iхtiyoriy uchta komplanar bo'lmagan vektorlar orasida ikkita kollinear vektorlar bo'la olmaydi. Shuningdek ular orasida nol vector ham bo'lmaydi.

Misollar