Guruh talabasi Muhammadjonov Otabekning Analitik geometriya fanidan “Ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamasiga ko‘ra yasash” mavzusidagi kurs ishi farg’ona – 2023 yil Reja

Ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo’yicha yasash.
Ikkinchi tartibli chiziq dekart reperida umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. Uni yasash uchun tenglamasini oldingi paragrafda bayon qilingan usullar bo’yicha soddalashtiramiz:
1) tenglamada a₁₂0 bo’lsa, chiziqning

2) tgα₁= formula bo’yicha tgα₁ ni, so’ngra
sin α₁=
ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α₁ burchakka burishdan hosil qilingan ( ) reperning koordinatavektorlari aniqlanadi:

3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi

ko’rinishda bo’lib, bunda a`<sub>10</sub>, a`₂₀ koeffitsiyentlar ushbu formulalardan topiladi: B` reperning koordinatalariboshi ni formuladan topiladigan O` nuqtaga ko’chirish bilan B` reperdan B`` reperga o’tamiz. B`` reperda chiziqning tenglamasi kanonik ko’rinishga keladi. Agar tenglamada a₁₂=0 bo’lsa, soddalashtirish koordinatalar boshini ko’chirishdan iborat, xolos. Bu ishlarni misollarda ko’ramiz.
Ikkinchi tartibli chiziqning to’g’ri chiziq bilan kesishishi.
Dekart reperida

ikkinchi tartibli chiziq va

to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Bu egri chiziqning shu to’g’ri chiziq bilan kesishish masalasiga o’tamiz.
yoki

Bu yerda quyidagi belgilashlar kiritilgan:
P=a₁₁a

R=a₁₁


tenglamani yechib, t ning topilgan qiymatlarini qo’ysak, chiziq bilan to’g’ri chiziqning kesishgan nuqtalari topiladi. Quydagi hollarni tekshiraylik.
1. P0. Bu holda tenglama ikkita ildizga ega.

Bu yerning o’zida uchta hol bo’lishi mumkin:
a) tenglama ikkita haqiqiy turli ildizlarga ega – chiziq bilan to’g’ri chiziq ikkita haqiqiy turli nuqtalarda kesishadi.
b) tenglama ikkita qo’shma kompleks ildizga ega, shuning uchun chiziq bilan to’g’ri chiziq ikkta qo’shma kompleks nuqtalarda kesishadi, demak, to’g’ri chiziq bilan chiziq umumiy haqiqiy nuqtalarga ega bo’lmaydi.
v) ; tenglama ustma – ust tushgan ikkita ildizga ega – chiziq bilan to’g’ri chiziq ustma – ust tushgan ikkita nuqtada kesishadi. Bu vaqtda u to’g’ri chiziq γ chiziqqa urinma deb ataladai.
2. P=0. Bu holda tenglama

ko’rinishni oladi.
a) Q0, R – ixtiyoriy son. tenglama yagona ildizga ega:
;
b) Q=0, R0. tenglama yechimga ega emas. Chiziq to’g’ri chiziq bilan bitta ham umumiy haqiqiy yoki mvhum nuqtaga ega emas.
v) Q=0, R=0 bu holda t ning har qanday qiymati tenglamani qanoatlantiradichiziq va to’g’ri chiziq cheksiz ko’p umumiy nuqtalarga ega, ya’ni (61.1) to’g’ri barcha nuqtalari bilan chiziqqa tegishli: uγ.
II BOB.Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tavsifi.


1-§ Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasi.
Tekislikda biror koordinatalar sistemasida
(1)
tenglama bilan berilgan bo’lsin. Bu yerda

Koeffintsentlar haqiqiy sonlar va koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi lozim. Bu shartni

ko’rinishida yozish mumkin.
1-ta’rif.Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.
Demak, quyidagi savol tug’iladi tekislikda bunday tenglama bilan berilgan qanday chiziqlar mavjud va ularning ko’rinishi xossalari qanday ?
Avvalo ikkinchi tartibli chiziqlarga yuqorida keltirilgan keltirilgan ellips, giperbola va parabolalar misol qilaolamiz.
Chunki, (1) tenglamadagi
, va
bo’lib, qolgan barcha koeffitsientlar nol bo’lsa u ellipsning kanonik tenglamasini ifodalaydi. Xuddi shunday , va qolgan koeffitsentlar nol bo’lsa, giperbolaning kanonik tenglamasini. Agarda, va bo’lib qolgan koeffitsientlar nol bo’lsa parabolaning kanonik tenglamsini ifodalash mumkin. Lekin ikkinchi tartibli egri chiziqlar faqat shular bilan chegaralanmaydi va ularning ko’plab ko’rinishlari mavjud. Quyida umumiy holatda ularni o’rganamiz.
Birinchi o’rinda shuni aytish joizki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan kelib chiqadiki koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlab olib barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni tekislikda to’la geometrik tasvirlash mumkin. Buni quyida ko’rib chiqamiz.
Ikkinchi tartibli chiziq dekart reperida (1) umumiy tenglama bilan berilgan bo’sin. Shunday reperni tanlaymizki, umga nisbatan chiziqning (1) tenglamasi imkon qadar sodda ko’rinishga ega bo’lsin. Bunda,
o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin
birinchi darajali hadlar soni mumkin qadar kam bo’lsin yoki umuman bo’lmasi.
mumkin bo’lsa ozod had qatnashmasin
ushbu shartlar bajariladigan ko’rinishdagi sodda tenglamani topish kerak bo’ladi.
Agar, (1) tenglamada bo’lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz. reper o’qlarini O nuqta atrofida ixtiyoriy burchakka burib, yangi dekart reperini xosil qilamiz. reperdan reperga o’tish formulalari:

dan x, y ni (1) qo’ysak, va o’xshash hadlarni ixchamlasak, chiziqning (1) tenglamasi reperda ushbu ko’rinishni oladi.
(2)
bunda:
(3)
(3) belgilashlardan ko’rinadiki (2) tenglamadagi koeffitsientlar (1) tenglamadagi koeffitsientlarga burchakka bog’liq, shu bilan birga larning kamida biri noldan farqlidir.
burchak ixtiyoriy ekanligidan foydalanib uni shunday tanlab olamizki (2) tenglamadagi koeffitsient nol bo’lsin, ya’ni

yoki

Ushbu munosabatni biror ga tenglab, uni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(3)
Bu hosil qilingan (3) sistema bir jinsli, shuning uchun uning koeffitsientlaridan tuzilgan determinantnolga teng,
ya’ni
yoki (4)
bo’lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo’ladi.
(4) tenglama chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Kvadrat tenglamani yechish orqali yechimlarga ega bo’lamiz.
Yuqoridagi (3) sistemani qavslarni ochgan holda yozish orqali,
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu tengliklarni ( tenglamaningyechimi emas) ga bo’lib yuborib,
(5)
hosil qilamiz.
Bu (5) munosabatga (4) xarakteristik tenglamaning ildizlar larni qo’yib,
,
larni hosil qilamiz. Bunda o’qning reperdagi burchak koeffitsientini ifodalasa, esa

o’qning reperdagi burchak koeffitsientini ifodalaydi.
Bundan kelib chiqadiki, o’qning birlik vektorining koordinatalari larni
, (6)
Xarakteristik tenglamani (4) Viet usuli orqali yechamiz, va tengliklarga ega bo’lamiz. (3) tenglamalardan topsak,
ekanligi bundan esa, , tengliklar kelib chiqadi.
Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan chiziqning reperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
(7)
Agarda, o’qining burchak koeffitsienti sifatida olinadigan bo’lsa, (7) tenglamada
, o’zgarish ro’y beradi.
(7) tenglamada koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo’laolmaydi chunki, agar bo’lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi. Bundan kelib chiqadiki (7) tenglamani quyidagi 3 xil ko’rinishga keltirish mumkin.
1)
Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni ga nisbatan to’la kvadrat tenglamaga keltiramiz.
.
Bu yerdagi ozod hadlarni deb belgilaymiz va tenglikning ko’rinishi

shunday bo’ladi.
reper markazini parallel ko’chirish formulasi orqali,

reper hosil bo’lib, chiziq tenglamsi quyidagi sodda ko’rinishga keladi:
.
2) yoki ,
Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko’rib chiqiladi shuning uchun bittasini tekshirish yetarli.
Birinchi holni qaraymiz:
ekanligidan (7) tenglamaning hadlarini ga nisbatan to’la kvadrat tenglamaga keltiramiz: ,
,
bunda deb belgilash kiritdik.
Ushbu,

formulalar bo’yicha koordinatalar sistemasining markazi nuqtani nuqtaga ko’chiramiz natijada yangi reperga nisbatan chiziq tenglamasi:

ko’rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi.
3) yoki
Har ikki hol ham bir biriga o’xshash shuning uchun birini ko’rib chiqamiz.
Birinchi holni qaraymiz:
shart o’rinli bo’lganda (7) tenglama ushbu ko’rinishni oladi,

bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz,

yoki
,
bunda .
Ushbu , formulalar yordamida reperdan reperga o’tamiz. Yangi reperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa,
,
ko’rinishida bo’ladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart reperida (1) tenglama bilan berilgan bo’lsa, yangi dekart reperini keraklicha tanlash orqali ning tenglamasini yuqoridagi tenglamalarning biriga keltirish mumkin.


2-§ Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi.
Oldingi mavzuda keltirilgan ko’rinishdagi tenglamalarni batafsilroq o’rganamiz.
.
tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan quyidagi ikkita hol bo’lishi mumkin:
. tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan tenglikni o’ng tomoniga olib o’tib unga bo’lib yuboramiz:
yoki (8)
1) Agar (8) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali bo’lsa, ekanligi ma’lum. va belgilash kiritish orqali (8) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi ifodalanishini ko’rsata olamiz:
2) Agarda (8) tenglikda va bir xil ishorali bo’lsa, .
Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi:

tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo’lmasada mavhum ellipsni
aniqlaydi deyiladi.
3) Agar har xil ishorali bo’lsa, u holda va qarama-qarshi ishorali bo’lib ularni mos ravishda va ko’rinishida belgilab,

(8) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz.
b) bo’lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
. (9)
1) Agar bir xil ishorali bo’lsa, deylik bo’lsin.
Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (9) tenglama ko’rinishi:
yoki
kabi bo’ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonidako’paytuvchilarga ajragani va ular birinchi darajali bo’lgani uchun to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga bitta haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum tog’ri chiziqlar tenglamasi deyiladi.
2) Agar qarama-qarshi ishorali bo’lsa, kerakli belgilashlarni kiritish orqali (9) ni quyidagicha ifodalaymiz;
yoki
, , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita haqiqiy to’g’ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi reperda tenglama orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo’ladi.
.
Ushbu tenglamada , bo’lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
; bu yerda deb belgilash kiritsak,
ushbu tenglama parabolaning kanonik tenglamasini ifodalaydi.
. .
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflasga o’tamiz. Bu tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar o’rinli ekanligidan quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
a) .
1) va har xil ishorali bo’lsa, bo’ladi. Tenglama esa, deb belgilash kiritilganda:
yoki
ko’rinishni oladi. Bu tenglama o’zaro parallel ikkita to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
2) va bir xil ishorali bo’lsa, bo’ladi. deb belgilash kiritib,
yoki
ko’rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to’g’ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
b) .


Ushbu holda tenglama ko’rinishini oladi. Shartga ko’ra ekanligidan,
yoki .
Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi deyiladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq yangi reperda tenglama bilan ifodalansa yuqoridagi 3 ta chiziqni hosil qilishi mumkin.
3-§ Ikkinchi tartibli chiziqning to’g’ri chiziq bilan kesishishi. Urinma tenglamasi.


Dekart koordinatalar sistemasida (1) tenglama bilan ya’ni

ikkinchi tartibli chiziq va
(10)
(10) tenglama bilan ifodalangan to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Bu (1) ikkinchi tartibli chiziqni ushbu (10) to’g’ri chiziq bilan kesishishini ko’ramiz, ya’ni to’g’ri chiziq va egri chiziqni umumiy nuqtalarini qidiramiz:

.
Yuqoridagi tenglikni soddalashtirish va belgilashlar orqali kvadrat tenglamaga ega bo’lamiz:
(11)
Bu yerda quyidagi belgilashlar kiritildi:
;
; (12)
.
(11) kvadrat tenglamani yechib, ning topilgan qiymatlarini (10) ga qo’ysak, ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziqning keshish nuqtalari topiladi. Quyidagi hollarni tekshiraylik.
1. . Bu holda (11) tenglama ikkita ildizga ega bo’ladi.

Bu yerda 3 ta hol bo’lishi mumkin:
a) ;
(11) tenglama ikkita haqiqiy turli ildizga ega – ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziq ikkita haqiqiy turli nuqtalarda kesishadi.
b) ;
(11) tenglama ikkita qo’shma kompleks ildizga ega, shuning uchun ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziq ikkita qo’shma kompleks nuqtalarda kesishadi, demak, ular umumiy haqiqiy nuqtaga ega bo’lmaydi.
c) ;
(11) tenglama ustma-ust tushgan ikkita ildizga ega – ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziq ustma-ust tushgan ikkita nuqtada kesishadi. Bu vaqtda to’gri chiziq chiziqqa urinma deb ataladi.
2. . Bu holda (11) tenglama
(13)
ko’rinishni oladi.
O’z navbatida quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
, - ixtiyoriy son.
(13) tenglama yagona ildizga ega:
;
ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziq bitta nuqtada kesishadi.
b) , .
(13) tenglama yechimga ega emas. Ikkinchi tartibli chiziq to’g’ri chiziq bilan bitta ham haqiqiy yoki mavhum nuqtaga ega emas.
c) .
Bu holda ning har qanday qiymati (13) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni ikkinchi tartibli chiziq va to’g’ri chiziq cheksiz ko’p umumiy nuqtalarga ega, ya’ni (10) to’g’ri chiziq barcha nuqtalari bilan (13) chiziqqa tegishli:
.
Yuqorida biz ikkinchi tartibli chiziq bilan to’gri chiziqning o’zaro vaziyatini o’rganib, urinma tushunchasini kiritgan edik. Shunga asoslanib, urinma tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Agar dekart reperida chiziq (1) tenglamasi bilan, to’g’ri chiziq esa (10) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo’lsa, to’g’ri chiziq chiziqqa nuqtasida urinma bo’lishi uchun (12) da , bo’lishi lozim.

. (*­)
(10) dan
, (**)
(*) va (**) dan ushbu tenglama kelib chiqadi:
;
. (14)
(14) tenglikni qavslarni ochib va

ekanini e’tiborga olib, quyidagicha yozish mumkin:
(15)
(14) va (15) tenglamalar chiziqning nuqtasida o’tkazilgan urinma tenglamalaridir.
Misol uchun ellips, giperbola, parabolaning biror nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamalarini ko’raylik.
ellipsga uning nuqtasida urinma tenglamasini keltirib chiqaraylik. Bu yerda:
, , , , , .
U holda (15) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

bundan
. (16)
Bu tenglama ellipsning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.
b) giperbolaga uning nuqtasida urinma o’tkazaylik. Bu yerda:
, , , , , .
U holda (15) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

yoki
. (17)
Bu (17) tenglama giperbolaning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.
c) parabolaga uning nuqtasida urinma o’tkazaylik. Bu yerda:
, , , , , .
U holda (15) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

yoki
. (18)
Bu (18) tenglama parabolaning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.


Xulosa.
Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi.
Mavzuga to’xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda chiziqlar bizga o’rta ta’lim davridan ma’lum bo’lgan oddiy tog’ri chiziqdan, sodda funksiyalarning grafiklaridan iborat bo’libgina qolmay, yana ko’palab chiziqlarning mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi tushunchaga ega bo’lishimizda ko’maklashdi.
Xususan bizga ma’lum bo’lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi, oldingi kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o’rganilgan parabolaning xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin.
Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan har qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o’rgandik. Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi ni tahlil qilish, bu tenglamani turli koordinatalar sistemasida ko’rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o’rgandik. Aytish joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi chiziqlardan birini ifodalashini ko’rsatish orqali mavzuni o’quvchiga tushunarli qilib yoritib berdik.
Mavzu so’ngida esa tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va to’g’ri chiziqning o’zaro vaziyatini tahlil qilib, kerakli tushunchalarga ega bo’ldik. Bunda umimiy holda har qanday ikkinchi tartibli chiziqqa tayin nuqtada o’tkazilgan urinma tenglamasini keltirib chiqarib, sodda ikkinchi tartibli chiziqlarga nisbatan qo’llash orqali ular uchun urunma tenglamalarini xosil qilishni o’rgandik.


Foydalanilgan adabiyotlar.
N.D. Dodajonov, M.Sh. Jo’ra “Geometriya” 1-qism.(1996 )
T.Sh. Shodiyev “Analitik geometriya va chiziqli algebra ”.
O. N. Suberbiller, “Analitik geometriyadan misol va masalalar to’plami”.
S. V. Baxvalov, “Analitik geometriyadan masalalar to’plami”.
Internet saytlari:
www.arxiv.uz
www.edu.uz
www.ziyonet.uz