Guruh talabasi Nazirjonov Shohzodning Analitik geometriyafanidan

II-BOB.Fazoda koordinatalar sistemasini almashtirish
2.1-§. Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
Umumiy boshlang‘ich nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo‘lgan o‘zaro perpendikular va o‘qlar tekislikda dekart koordinatalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistemaning o‘qiga abssissalar o‘qi, o‘qiga ordinatalar o‘qi va ular birgalikda koordinata o‘qlari deb ataladi. Bunda va o‘qlarning ortlari va bilan belgilanadi. () . nuqtaga koordinatalar boshi deyiladi, va o‘qlar joylashgan tekislik koordinata tekisligi deb ataladi va bilan belgilanadi. Tekislik nuqtasining vektoriga nuqtaning radius vektori deyiladi. Radius vektorning koordinatalariga nuqtaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning koordinatalari kabi belgilanadi, bu yerda soni nuqtaning abssissasi, soni nuqtaning ordinatasi deb ataladi. Tekislikda sanoq boshiga, musbat yo‘nalishga va masshtab birligiga ega bo‘lgan o‘q qutb o‘qi, uning sanoq boshi qutb deb ataladi.
Tekislikning qutb bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy nuqtasining holati ikkita son, qutbdan nuqtagacha bo‘lgan masofa va qutb o‘qi bilan yo‘nalgan kesma orasidagi burchak bilan aniqlanadi. Bunda masofa qutb radiusi, burchak qutb burchagi deb ataladi.
Nuqtaning qutb koordinatalaridan dekart koordinatalariga tengliklar bilan o‘tiladi.
Nuqtaning dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o‘tish tengliklar orqali amalga oshiriladi. Bunda burchakning qiymati nuqtaning joylashgan choragiga qarab, oraliqda tanlanadi.
Koordinatalar-ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini harakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi.
Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o‘rni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini o‘rganadi.
Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil tongan deb qarash mumkin. Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash mumkin.
Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi o‘rni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari deyiladi.
Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil qilib kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata tekisliklari deb ataladi. R,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY ordinati o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgannuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib fazoni sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.
Bu keltirilgan koordinata sistemasi fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasi deyiladi. Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasini qisqacha quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif: Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar 3ta o‘zaro perpendikulyar uq, ularni kesishgan nuqtasi O va masshtab birligi berilgan bo‘lsa. Fazoda har qanday nuqtaning o‘rni koordinata sistemasiga nisbatan 3ta son bilan aniqlanadi. Fazoda biror M nuqta va ma’lum masshtab birligi berilgan bo‘lsin (ch-4). M nuqtadan koordinata o‘qlariga perpendikulyarlar tushiramiz va ularni koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini
R,Q,S bilan belgilaymiz. Agar Z R,Q,S nuqtalar berilgan bo‘lsa S V M nuqtani topish mumkin. Demak, M nuqtani fazodagi vaziyatini X=OR, Y=OQ va Z=O
S M miqdorlar belgilaydi va ular U M nuqtaning koordinatlari, Q aniqrog‘i x M nuqtaning abssissasi, U ordinatasi va R A Z aplekatasi deyladi. Agar X fazoda biror, M (x;u;z) nuqta berilgan bo‘lsa, uni fazodagi vaziyatini quyidagicha aniqlash mumkin (ch-5) OX o‘qidan x ni topamiz, OY o‘qidan uni topamiz. R nuqtadan OY o‘qiga parallel qilib, Q nuqtadan OX o‘qiga parallel qilib to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va ularni kesishgan nuqtasini Q₁ bilan belgilaymiz. O₁ nuqtadan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziq o‘tkazamiz.
SHundan keyin z ni ishorasiga qarab, agar z > 0, bo‘lsa O₁dan yuqoriga qarab
Z uzunliga z bo‘lgan O₁Z va Z < 0 bo‘lsa O₁ dan pastga qarab uzunligi O₁Z . Z kesmi ajratamiz. O₁Z kesmani oxirgi Q y nuqtasi biz izlayotgan M nuqtadir. O M (5;6;3) nuqtani yasaylik: xq5 va uq6 x x kesmalarni topib, ularni oxiridan
R O₁ OX va OY o‘qiga parallel qilib uzuq x y chiziqlar o‘tkazamiz, so‘ngri ularni
r-5 kesishish nuqtasi O₁dan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziqlar o‘tkazamiz. Z=3>0, bo‘lganidi. O₁ nuqtadan yuqorigi qarab 3 birlik o‘lchaymiz, shu kesmani oxiri, ya’ni O₁M kesma hosil bo‘ladi. Ana shu topilgan M nuqta biz izlayotgan nuqtadir.