H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

     7. Yuxarıda verilmiş 1, 3-5 modellərinə uyğun gələn ötürmə funksiyalarını 

tapın. 

Bu 

məqsədlə 

tənliklərin 

hər 

tərəfindən 

sıfır 

y(0)=

0

)

0

(

y

)

0

(

y

)

0

(

y

)

3

(













 başlanğıc şərtlərində Laplas təsviri almaq lazımdır.  

     8. MATLABın köməyi ilə ATS-in aşağıdakı struktur sxeminə uyğun gələn 

ötürmə funksiyasını tapın. 

 

 

     İlkin  və  gətirilmiş  ATS-ləri  Simulink  paketində  modelləşdirərək  g=1(t) 

(Step)  vahid  təkan  siqnalı  halında  y(t)  və  y

G

(t)  qrafiklərini  qurub  müqayisə 

edin. Çevirmə düzgün aparılmışdırsa y(t)= y

G

(t) olmalıdır.  

2

s

4

W

,

5

W

,

1

s

3

s

2

W

,

s

1

s

2

W

30

10

2

ob

T

















. 

     9. Obyektin ötürmə funksiyası verilmişdir:

6

s

5

s

4

s

)

s

(

W

2











. 

 

Giriş  siqnalı  u(t)=2cos(0.5t)  olduqda  Simulinkdə  modelləşdirmə  yolu 

ilə obyektin y(t) reaksiyasını alın.  

 

9.5.2. Furye şevirməsi

 

 

     Avtomatik  tənzimləmə  sistemlərinin  və  obyektlərinin  əvvəldə  baxdığımız 

zaman  oblastında  və  təsvirlərin  köməyi  ilə  yazılış  formaları  onları  tam 

xarakterizə  etmir.  Belə  ki,  praktikada  mövcud  olan  obyektlərin  bir  çoxuna 

harmonik siqnallar təsir edir. Belə şəraitdə sistemi düzgün qurmaq üçün onun 

qərarlaşmış  rejimdə  sinusoidal  test  siqnalına  olan  reaksiyasını  bilmək  çox 

vacibdir.  Bundan  başqa,  sistemin  zaman  oblastına  aid  olan  bəzi  keyfiyyət 

 

245 

 

göstəricilərini 

onun 

tezlik 

xarakteristikaları 

əsasında 

daha 

asan 

qiymətləndirmək olar. 

     Spektral  analizin  əsas  tətbiq  sahələrindən  biri  də  siqnalların  harmonik 

(tezlik)  tərtibini  araşdırması  və  tezlik  üzrə  gücünün  paylanma  qanununun 

(spektral sıxlıq) təyin edilməsindən ibarətdir. 

     Spektral analizin riyazı əsasını Furye çevirməsi təşkil edir. 

Əvvəldə düz və tərs Laplas çevirmələri ilə tanış olmuşduq: 









0

st

dt

e

)

t

(

x

)

s

(

X

,                                             (9.5)            

.

ds

e

)

s

(

X

j

2

1

)

t

(

x

j

c

j

c

st















                                      (9.6)                

     Dövrü  olmayan  x(t)  originalının  -





  intervalında  düz  Furye 

çevirməsi aşağıdakı inteqralın köməyi ilə təyin edilir: 

 



















.

dt

e

)

t

(

x

)

j

(

X

)

t

(

x

F

t

j

                               (9.7)           

Burada, F – düz Furye çevirməsinin simvoludur. 

     Əgər təsvir X(j



) verilərsə, uyğun x(t) originalını tapmaq üçün tərs Furye 

çevirməsindən istifadə olunur: 





























.

d

e

)

j

(

X

2

1

)

t

(

x

)

j

(

X

F

t

j

1

                         (9.8)           

     Furye  çevirməsi  Dirixle  şərtindən  irəli  gələn 













dt

)

t

(

x

  münasibətini 

ödəyən  x(t)  zaman  funksiyaları  üçün  mövcuddur.  x(t)  cüt  funksiya  olarsa 

X(j



)=X(



)  həqiqi,  tək  funksiya  olarsa  X(j



)  kompleks  kəmiyyət  şəklində 

alınır. 

     Göründüyü  kimi,  zamanın  t



  mənfi  qiymətlərində  original  x(t)=0  olarsa 

(9.7) Furye çevirməsi (9.5) Laplas çevirməsi ilə eyni olur. Yalnız belə siqnallar 

üçün, yəni x(t) zamanın müsbət t



0 intervalında təyin olunduqda məlum X(s) 

Laplas təsvirində s=j



  əvəzləməsini etməklə X(j



)tezlik spektrini almaq olar. 

Əks  təqdirdə,  tezlik  spektrini  almaq  üçün  (9.7)  Furye  çevirməsini  istifadə 

etmək 

lazımdır. 

Məsələn, 

x(t)=Asin(



0

t) 

siqnalının 

təsviri 





2

0

2

0

s

A

)

s

(

X









. Bu ifadədə bilava-sitə s=j



 əvəzləməsi etməyə çalışsaq 

X(j



)=A



)

/(

2

0

2









alarıq.  Amma  Furye  çevirməsinin  özündən  istifadə 

etdikdə 



 







0

0

j

)

j

(

X

























 

düzgün 

nəticə 

alarıq. 

0

,

e

)

t

(

x

t











siqnalı  üçün  X(s)=1/(s+



).  Bu  siqnal  yalnız  t



0  halında 

 

246 

 

təyin  olunduğundan  s=j



  birbaşa  əvəzləməsi  düzgün  nəticə  verir: 

X(j



)=1/(j



+



).  Daha  bu  siqnalın  tezlik  spektrini  tapmaq  üçün  (9.7)  Furye 

çevirməsindən istifadə etmək lazım gəlmir.  

     Furye  çevirməsinin  köməyi  ilə  sistemin  tezlik  xarakteristikalarını  (ATX, 

FTX, AFTX) qurmaq mümkündür. Bu xarakteristikalar analiz və sintez zamanı 

çox əhəmiyyətli məlumat daşıyır.  

     Tezlik spektri. X(j



) kəmiyyəti x(t) zaman funksiyasının tezlik spektri və 

ya  spektral  xarakteristika  adlanır.  X(j



)=R(



)+jİ(



)  kompleks  kəmiyyət 

olarsa  tezlik  spektri             

)

(

2

I

)

(

2

R

)

j

(

X













  və  ya 





)

j

(

X

)

j

(

X

mod

)

j

(

X











. 

     Misal  9.32.

  Şəkil  9.8-də  göstərilən  düzbucaqlı  simmetrik  impulsun  tezlik 

spektrini tapaq. 

 

 

 

 

 

Şəkil 9.8.Düzbucaqlı simmetrik impuls

 

 

     İfadə (9.7)-ə əsasən tezlik spektri: 

 

.

2

/

)

2

/

sin(

dt

e

1

)

j

(

X

2

/

2

/

t

j





























                           (9.9)             

     Bu impuls cüt funksiya olduğundan X(j



) – həqiqi funksiyadır. Yəni yalnız 

həqiqi  hissədən  ibarətdir.  Uyğun 

)

j

(

X



  tezlik  spektri  şəkil  9.9,  a-da 

göstərilmişdir. 



0 parametri sıfra yaxınlaşdıqda həddə x(t) funksiyası vahid 

impulsa  (



  -  funksiya)  çevrilir  x(t)= 



(t).  Uyğun 

)

j

(

X



  şəkil  9.9,  b-də 

göstərilmişdir.  Göründüyü  kimi,  vahid  impuls  siqnalı  sabit  tezlik  spektrinə 

malikdir.  

 

 

 

 

 

 

 

t 

            -

  

             

  

0 

х(t) 

  

1 



 

x(t)=



(t) 



X(j



)



 

0 

ω 

0 

-

4



/



 

-2



/



  2



/



 

4



/



 

0.5

- 

1 

-



X(j



 

 

247 

 

                              a)                                                             b) 

Şəkil 9.9. Simmetrik düzbucaqlı impulsun 

 

        tezlik  xarakteristikala

rı

 

     Bu  misal  siqnalın  forması  ilə  tezlik  zolağı  arasındakı  əlaqəni  nümayiş 

etdirir. Zaman (original) x(t) funksiyası dar olduqda, onun tezlik spektri bir o 

qədər geniş olur və beləsiqnalı bərpa etmək üçün daha böyük tezlik zolağı tələb 

olunur. Əgər düzbucaqlı impulsun iti bucaqları hamarlanarsa (məsələn, Qauss 

funksiyası şəklində), onun spektrinin yüksəktezlikli komponentləri azalır. Yəni 

spektr daha dar olur. Məsələn, 

 

2

/

t

2

e

2

)

t

(

x







  vahid sahəli siqnalın tezlik 

spektri   

2

/

2

e

)

(

X









  tez  sönür.  Burada,  x(t)  cüt  funksiya  olduğundan  X(j



) 

həqiqi funksiya şəklində alınmışdır. 

     Şəkil 9.10 a,b-də uyğun qrafikləri göstərilmişdir. 

 

 

 

 

 

 

a)

 

                                

b) 

       

Şəkil 9.10. Qauss funksiyası (a) və spektrial xarakteristi

ka (b)   

      Misal 9.33.

 Vahid təkan x(t)=1(t)  (x(t)=0, t<0) siqnalının Furye  

çevirməsini tapaq. (9.7) ifadəsinə əsasən:  



























 



0

0

)

(









j

t

j

e

dt

t

j

e

j

X

. 

 

     Bu  ifadəni  hesablamaq  mümkün  deyil.  Səbəb  yuxarı  həddin  qeyri-

müəyyənliyidir, yəni inteqral yığılmır. 

     Bu təzadı aradan qaldırmaq məqsədi ilə vahid təkanı x(t)=e

-at

, a



0 şəklində 

təsvir edək. Onda  

0

,

1

0

)

(

















a

j

a

dt

t

j

e

at

e

j

X







 . 

     İndi  a



0    nəzərə    alsaq,    X(j



)=1/j



.  Məxrəc    və    surəti  məxrəcin  (-j



) 

qoşmasına vursaq, alarıq: X(j



)=-j1/



=jİ(



). Tezlik spektri  

 

 











1

2

1

2

0

)

(

2

)

(

2

)

(











I

R

j

X

. 

0 

x(t) 

t 

0 



 X(j



) 



 



 

 

248 

 

     Bu  ifadə  x(t)=1(t)  vahid  təkan  funksiyasının  tezlik  spektrinə  yaxın  olub, 

onun  dəqiq  ifadəsi  deyil.  Dəqiq  ifadə  2



  intensivlikli  (sahəli)  vahid 



(



) 

impulsudur: 



X(j



)



=2



(



). 

     Bu misalın mahiyyəti onu göstərməkdən ibarətdir ki, bir çox məşhur zaman 

x(t) funksiyalarının Furye çevirməsi mövcud deyil.

 

 

     

9.5.2.1. Kompleks gücləndirmə əmsalı

 

 

     Əvvəldə  sistemin  (obyektin)  təsvirlərdə  yazılmış  model  kimi  W(s)  ötürmə 

funksiyasından istifadə etmişdik. Analoji olaraq sistemin tezlik xüsusiyyətlərini 

təhlil etmək üçün W(j



) kompleks gücləndirmə əmsalından istifadə olunur: 

 

)

(

jI

)

(

R

)

j

(

W











                                               (9.10)        

və ya polyar koordinatlarda (üstlü formada): 

.

e

)

(

A

)

j

(

W

)

(

j













                                              (9.11)              





)

j

(

W

mod

)

j

(

W

)

(

2

I

)

(

2

R

)

(

A



















  –  kompleks  müstəvidə 

vektorun  uzunluğu;   









)

j

(

W

arg

)

(

R

)

(

I

arctg

)

(















      -  bucaqdır, 

2

)

(









. 

     İfadə  (9.10)-dan  göründüyü  kimi,  riyazi  cəhətdən  kompleks  gücləndirmə 

əmsalını W(s) ötürmə funksiyasında s=j



 əvəzləməsi edib, onu həqiqi R(



) və 

xəyali I(



) hissələrə ayırmaqla almaq olar. 

 

     

Kompleks gücləndirmə əmsalının fiziki mahiyyəti

 

 

     

Tərif.  Obyektin  girişinə  vahid 



(t)  impulsu  verdikdə  onun  çıxış  y(t) 

siqnalının  Furye  çevirməsi,  yəni  tezlik  spektri  Y(j



)  kompleks 

gücləndirmə  əmsalı  adlanır.  Başqa  sözlə,  kompleks  gücləndirmə  əmsalı 

obyektin 



(t) çəki funksiyasının Furye çevirməsidir.  

     Fərz  edək  ki,  obyektin  ötürmə  funksiyası  W(s)  verilmişdir.  Onda  çıxış 

siqnalının  təsviri  Y(s)=W(s)U(s).  Burada  U(s)  giriş  siqnalının  təsviridir.  Fərz 

edək ki, giriş siqnalı u(t)=



(t) vahid impulsdur. Onda uyğun təsvir U(s)=1. Bu 

halda  Y(s)=V(s)=W(s).  Uyğun  original  (çəki  funksiyası) 



(t)=L

-1

[W(s)]. 

Hesablamaları  asanlaşdırmaq  məqsədi  ilə  ötürmə  funksiyasını  sadə  kəsrlərə 

ayırmaq olar: 

 

 

249 

 

n

n

2

2

1

1

s

s

k

...

s

s

k

s

s

k

)

s

(

W















. 

 

Burada s

i

 – ötürmə funksiyasının qütbləridir. Bu halda  

 

t

s

n

t

s

2

t

s

1

n

2

1

e

k

...

e

k

e

k

)

t

(

















 . 

     İfadə (9.11)-ə əsasən müvafiq Furye çevirməsi 









































j

s

k

...

j

s

k

j

s

k

dt

e

...

e

k

)

j

(

V

n

n

2

2

1

1

0

t

j

t

s

1

i

. 

 

     Kəsrlərin məxrəc və surətlərini məxrəcin  s

i

 – j



 qoşmasına vurub müəyyən 

qruplaşma və çevrilməlr apardıqdan sonra yazmaq olar: 

 

).

(

jI

)

(

R

)

j

(

W

)

j

(

V















 

 

    Misal 9.34.

 Fərz edək ki, obyektin ötürmə funksiyası: 

 

,

a

s

b

1

Ts

k

)

s

(

W









a

s

1





 

Originalı tapaq: 





at

1

1

be

a

s

b

L

)

s

(

W

L

)

t

(

























. 

 

İfadə (9.11)-ə əsasən Furye çevirməsi : 

 

























j

a

b

dt

e

e

b

)

j

(

W

)

j

(

V

0

t

j

at

 . 

     Alınmış  ifadəni  həqiqi  və  xəyali  hissələrə  ayıraq.  Bu  məqsədlə  kəsrin 

məxrəc və surətini (a-j



) qoşmaya vurub müəyyən çevirmələr aparsaq alarıq: 

 

2

2

2

2

2

2

a

b

j

a

ba

a

jb

ba

)

j

(

W



























 . 

 

     Bu halda həqiqi hissə R(



)=ba/(a

2

+



2

), xəyali hissə I(



)=bu/(a

2

+



2

). 

     Kompleks  gücləndirmə əmsalının təcrübi  təyini. Kompleks gücləndirmə 

əmsalının  vahid 



(t)  impulsu  ilə  əlaqədar  olan  tərifi  müəyyən  mənada  nəzəri 

xarakter  daşıyır.  Buna  səbəb  ideal 



(t)  impulsunun  amplitudunun  sonsuz 

olduğundan onun fiziki dəqiq realizə oluna bilməməsidir. 

 

250 

 

     İfadə  (9.11)  –yə  daxil  olan  A(



)  və 



(



)  arqumentini  obyektə 



  tezlikli 

harmonik siqnal verməklə və qərarlaşmış rejimdə çıxış siqnalının amplitudunu 

və fazasını ölçməklə təyin etmək olar. 

     Obyektin 

çıxış  siqnalının  təsviri:  Y(s)=W(s)U(s).  Giriş  siqnalı 

u(t)=A

0

sin(



t) harmonik siqnala uyğun təsvir:  

2

2

0

s

A

)

s

(

U









.                                                  (9.12)                 

                     

     Ötürmə funksiyasını sadə kəsrlərə ayırsaq yazmaq olar: 

2

2

n

n

1

1

s

s

s

s

k

...

s

s

k

)

s

(

Y























.                              (9.13)                                

Burada 



, 



 - sabitlərdir.  

     Fərz  olunur  ki,  s

i

  qütblərinin  hamısı  müxtəlifdir  (yəni,  sadə  köklərdir)  və 

Re(s

i

)<0, yəni obyekt dayanıqlıdır. (9.13) ifadəsinin tərs Laplas çevirməsi çıxış 

siqnalının originalını tapmağa imkan verir: 

































2

2

1

t

s

n

t

s

1

s

s

L

e

k

...

e

k

)

t

(

y

n

1

. 

     Qərarlaşmış rejimdə t



 bütün eksponentalar sıfra yaxınlaşdığından 

 





























2

2

t

t

s

s

lim

)

t

(

y

lim

. 

Həddə, yəni t



 halında, qərarlaşmış rejimdə alırıq: 





.

)

(

t

sin

)

j

(

W

A

)

t

sin(

)

j

(

W

A

1

s

s

L

)

t

(

y

0

2

2

1

















































 

(9.14)              

  

Alınmış ifadədə    

)

j

(

W

arg

)

(

),

(

A

)

j

(

W















. 

     Beləliklə, dayanıqlı xətti obyektin girişinə 

