H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

      

9.5.1.1. Laplas çevirməsinin əsas xassələri

 

 

1. Xəttilik xassəsi. Sabit 



 və 



 parametrləri üçün  

 













).

s

(

X

)

s

(

X

)

t

(

x

L

)

t

(

x

L

)

t

(

x

)

t

(

x

L

2

1

2

1

2

1























 

 

       2.  Originalın  diferensiallanması.  Əgər  original  x

(n)

(t)  n  tərtibli  törəmə 

şəklində verilərsə, onda 





 

 

).

0

(

x

)

s

(

sX

)

t

(

x

L

),

0

(

x

)

0

(

sx

)

s

(

X

s

)

t

(

x

L

),

0

(

x

)

0

(

sx

...

)

0

(

x

s

)

s

(

X

s

)

t

(

x

L

2

1

n

2

n

1

n

n

)

n

(



































 

Başlanğıc şərtlər sıfır olarsa, onda 





).

s

(

X

s

)

t

(

x

L

n

)

n

(



 

 

236 

 

     3.  Originalın  inteqrallanması.  Originalın  inteqrallanması  təsvirin  s-ə 

bölünməsinə gətirir: 

                   

;

s

)

s

(

X

dt

)

t

(

x

L

t

0





















      

.

s

)

s

(

X

)

dt

)(

t

(

x

...

L

n

t

0

n

t

0



















 

 

     4.Gecikmə  teoremi.  İstənilən  müsbət 



  (xalis  və  ya  nəqliyyat  gecikməsi) 

parametri üçün 









 

)

s

(

X

e

)

t

(

x

L

e

t

x

L

s

s

















. 

     5.  Bağlama  teoremi  (təsvirlərin  hasil  teoremi).  Əgər  x

1

(t),  x

2

(t) 

originallar, X

1

(s), X

2

(s) isə uyğun təsvirlərdirsə, onda 

















































t

0

1

2

t

0

2

1

2

1

d

)

t

(

x

)

(

x

L

d

)

t

(

x

)

(

x

L

)

s

(

X

)

s

(

X

 . 

Sağ tərəfdəki inteqral x

1

(t) və x

2

(t) funksiyalarının bağlaması (svertka) adlanır 

və x

1

(t)



 x

2

(t) kimi işarə olunur.  

     6.  Hədd  qiymətləri  haqqında  teorem.  Bu  teorem  təsvir  X(s)  məlum 

olduqda uyğun x(t) originalının başlanğıc və hədd mövcud olduqda,  yəni x(t) 

məhdud olduqda isə son (qərarlaşmış) qiymətlərini tapmağa imkan verir: 

)

s

(

sX

lim

)

(

x

),

s

(

sX

lim

)

0

(

x

0

s

s













. 

     7.  Parçalama teoremi.  Əgər təsvir  X(s)=M(s)/D(s) rasional  kəsir şəklində 

verilibsə və m













st

n

k

1

n

1

n

1

k

s

s

k

e

s

s

)

s

(

X

ds

d

lim

!

1

n

1

)

t

(

x

k

k

k

k



















,                  (9.3)      

burada  s

k

  –  D(s)=0  tənliyinin  kökləri;  n

k

  –  köklərin  təkrarlanma  ədədi; 



- 

müxtəlif köklərin sayıdır.  

     Bu düstur universal lolub n

k

=1 və s

k

=0 halı üçün də doğrudur. Nəzərə almaq 

lazımdır ki, 0!=1. 

     Əgər  D(s)=0  tənliyinin  kökləri  s

k

    sadə  köklərdirsə  (təkrarlanan  köklər 

yoxdursa), onda (9.3) ifadəsi sadələşərək aşağıdakı şəklə gəlir: 

.

e

)

s

(

'

D

)

s

(

M

)

t

(

x

n

1

k

t

s

k

k

k







                                        (9.4)            

 

Burada n – D(s) polinomunun tərtibi; 

k

k

s

s

ds

)

s

(

dD

)

s

(

'

D





. 

 

237 

 

     Cədvəl  9.1-də  avtomatik  idarəetmədə  istifadə  olunan  əsas  funksiyaların 

Laplas təsvirləri verilmişdir.  

 

           

Əsas funksiyaların Laplas təsvirləri               Cədvəl 9.1

    

 

Original, x(t) 

Təsvir, X(s) 

   Vahid impuls, 



(t) 

1 

Vahid təkan 1(t) 

s

1

 

t 

2

s

1

 

t

n 

1

n

s

!

n



 

t

e



 





s

1

 

t

t

e



  





2

s

1





 

sin(



t) 

2

2

s







 

cos(



t) 

2

2

s

s





 

t

e



sin(



t) 





2

2

2

s











 

t

e



cos(



t) 





2

2

2

s

s













 

t sin(



t) 





2

2

2

s

s

2







 

t cos(



t) 





2

2

2

2

2

s

s









 



(t-



) 

s

e





 

1(t-



) 

s

1

e

s





 

 

238 

 

1(t)-1(t-



) 

s

e

1

s







 

 

 

     Praktiki  məsələlərin  həllində  operasiya  hesabını  ilk  dəfə  ingilis  mühəndisi 

O.Hevisayd  (1850-1925)  geniş  tətbiq  etmişdir.  Yuxarıda  göstərilən  Hevisayd 

düsturlarından sistemin  və  ya obyektin çıxış kəmiyyətinin təsviri Y(s) məlum 

olduqda  onun  y(t)  originalını,  yəni  keçid  prosesini  təyin  etmək  üçün  geniş 

istifadə olunur. 

     Misal 9.22.

 Fərz edək ki, 





2

)

2

(

)

1

(

4

)

(







s

s

s

s

X

 . 

     Yuxarıda qəbul edilmiş işarələrə əsasən  

 

2

)

2

(

)

(

);

1

(

4

)

(









s

s

s

D

s

s

M

 . 

 

     X(s) funksiyasının qütbləri ( D(s)=0 tənliyinin kökləri) s

1

=0, s

2,3

=s

2

=-2.   s

1

 

və  s

2

  köklərinin  təkrarlanma  ədədləri  n

1

=1  və  n

2

=2, 



=2.  (2.102)  ifadəsinə 

əsasən s

1

 kökünə 



 



1

e

4

4

se

)

s

(

X

lim

se

)

s

(

X

ds

d

lim

!

0

1

0

st

0

s

st

0

0

0

s











, 

s

2

 kökünə isə  

t

st

s

e

t

e

s

s

ds

d

2

2

)

1

2

(

)

1

(

4

lim

!

1

1





















 

toplananı uyğun gəlir. 

     Beləliklə, original 

t

2

e

)

1

t

2

(

1

)

t

(

x









. 

     Misal 9.23.

 Sıfır başlanğıc şərtlərində  





0

)

0

(

)

0

(

),

(

2

1

2

2

2

1













y

y

t

ku

y

dt

dy

T

T

dt

y

d

T

T



 

diferensial tənliyi üçün Laplas çevirməsini yerinə yetirməli. 

     Laplas çevirməsinin yuxarıda göstərilmiş 1, 2 xassələrindən istifadə edərək 

tapırıq: 









)

(

)

(

1

2

1

2

2

1

s

kU

s

Y

s

T

T

s

T

T









 . 

Misal 9.24.

 Vahid təkan (Hevisayd funksiyası) 

 

239 

 













0

t

,

0

0

t

,

1

)

t

(

1

 

funksiyanın təsvirini tapmalı. 

Bu halda əsas ifadədən istifadə etsək alarıq: 

 

s

1

0

s

e

dt

e

)

t

(

1

)

t

(

1

L

st

0

st



















 . 

     Misal  9.25.

  Vahid  impuls  (Dirak  funksiyası) 



(t)  üçün  Laplas  təsvirini 

tapmalı. 

Ümumiləşdirilmiş 



(t)  funksiyasının 

1

d

)

(

0













  xassəsin-dən  istifadə  etsək, 

alaraıq:                         

 

1

0

e

dt

e

)

(

)

t

(

L

st

0

st

























 . 

Qeyd edək ki,               

 





m

)

m

(

s

)

t

(

L

,...,

s

)

t

(

L











. 

 

     Misal 9.26.

 Harmonik funksiya cos



t üçün Laplas təsvirini tapmalı. 

 









.

s

s

j

s

1

j

s

1

2

1

dt

e

e

2

1

dt

e

e

e

2

1

dt

e

t

cos

)

s

(

X

2

2

0

t

)

j

s

(

t

)

j

s

(

0

t

j

t

j

st

0

st

















































































 

 

 

     

9.5.1.2. Təsvirlərin MATLABda təyini

 

 

     MATLABda olan  laplace (



)  və ilaplace (



)  funksiyaları (9.1) düz və (9.2) 

tərs  Laplas  çevirmələrinin  təyin  olunmasını  avtomatlaşdırmağa  imkan  verir. 

Hesablama üsulu simvolik inteqrallama əməliyyatına əsaslanır.  

 

 

 

1. 

Düz Laplas çevirməsi

 

 

     Misal 9.27.

  

)

c

at

cos(

e

)

t

(

x

bt





 originalının təsvirini tapın. 

 

 

240 

 

 

 

     Misal  9.28.

  Cədvəl  9.1-də  göstərilən  x(t)=tcos(



t)  originalının  təsvirini 

tapaq. 

 

     

Misal 9.29.

 x(t)=1(t) vahid təkan (Hevisayd funksiyası)  və x(t)=



(t)  vahid 

impuls (Dirak funksiyası) originallarının təsvirlərini tapın.  

 

Vahid 1(t) və 



(t) funksiyalarını daxil etmək üçün uyğun olaraq heaviside(t) və 

dirac(t) simvollarından istifadə etmək lazımdır. 

 

2. 

Tərs Laplas çevirməsi.

 

 

     Misal 9.30.

  

2

)

a

s

(

1

)

s

(

X





 təsvirinin originalını  tapın. 

 

 

     Misal  9.31.

 

s

1

e

)

s

(

X

s









  və 

s

e

)

s

(

X







  təsvirlərinin  originallarını 

tapaq.  

 

 

 

241 

 

     X(s)=s/(s

2

+1) təsvirinin originalını tapıb qrafikini quraq. Sonra qiymətlərini 

0



t



2 intervalında 



t=0.2 addımı ilə çap edək (şəkil 9.2.109).  

                       

 

   

 

 

 

                                                     Şəkil 9.7. Originalın qrafiki

 

 

     Burada z



  matris z-in transponə olunmasıdır.  Yəni  sütunlarla sətirlərin  yeri 

dəyişdirilib.  

 

     

9.5.1.3.Ötürmə funksiyası

 

 

     

Mühəndis  praktikasında  adətən  obyektin  modeli  kimi  diferensial 

tənliklərdən deyil ötürmə funksiyasından istifadə edirlər. 

     

Tərif.  Obyektin  çıxış  y(t)  siqnalının  Laplas  təsvirinin  giriş  x(t)  siqnalının 

Laplas  təsvvirinə  olan  nisbıti  (sıfır  başlanğıc  şərtlərində)  ötürmə  funksiyası 

adlanır. 

     Ötürmə funksiyasını W-ilə işarə etsək  tərifə ısasən W(s)=Y(s)/X(s). 

     Şəkil 9.8-də obyektin sxemi göstərilmişdir. 

 

242 

 

 

Şəkil 9.8. 

      Obyektin  giriş x(t) və çıxıç y(t) siqnalları məlum olarsa bu obyektin 

ötürmə funksiyasını tapmaq üçün müvafiq X(s) vı Y(s) təsvirlərini tapıb 

bölmık lazımdır.Məsələn, x(t)=1, y(t)=sin(2t). Cədvəl 9.1-ə əsasən müvafiq 

təsvirlər: X(s)=1/s, Y(s)=2/(s

2

+4). Ötürmə funksiyasıW(s)=2/(s(s

2

+4)). 

     Misal 9.23-ə əsasən obyektin tənliyi  

x

b

x

b

x

b

y

a

y

a

y

a

m

m

m

n

n

n



















...

...

)

1

(

1

)

(

0

)

1

(

1

)

(

0

 

n tərtibli xətti diferensial tənliklə verilərsə müvafiq ötürmə funksiyası: 

.

...

...

)

(

1

1

0

1

1

0

n

n

n

m

m

m

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

W



















 

     

Ötürmə funksiyasının daxil edilməsi. Ən sadə üsullardan biri  

5

4

3

1

)

(

2









s

s

s

s

W

 

misalında aşağıda göstərilmişdir. 

     

 

 

 

Çalışmalar-9.1 

 

Laplas çevirməsi və ötürmə funksiyası. 

 

     1. Verilmiş originalların Laplas təsvirini tapın. 

1.

 

x(t)=dirac (t-3) 

2.

 

x(t)=heaviside (t-1) 

3.

 

x(t)=dirac(t) 

4.

 

  x(t)=e

-at

 

 

243 

 

5.

 

x(t)=sin(



t+



/4) 

6.

 

x(t)=2t

a

.

 

     2.  Verilmiş  təsvirlərə  uyğun  gələn  originalları  tapın  və  ezplot(x,t

0

,t

f

),  t

0

=0, 

t

f

=10 funksiyasının köməyi ilə qrafikini qurun.  

 

                            1.X(s)=e

-s

 . 

                            2. 

a

s

a

)

s

(

X

2





. 

                            3. 

1

s

s

)

s

(

X

2





. 

                            4. X(s)=a/s . 

                            5. X(s)=1+s . 

                            6. 

s

1

e

)

s

(

X

as





 . 

     3. Aşağıdakı ötürmə funksiyasını iki üsul ilə formalaşdırın. 

          

30

s

37

s

21

s

7

s

5

s

11

s

7

s

)

s

(

W

2

3

4

2

3

















 . 

     4. Sistemin keçid xarakteristikası (yəni giriş g=1(t) olanda) verilmişdir: 

 

            y(t)=3-2e

-2t

- e

-3t

,               t



0. 

 

 

Uyğun ötürmə funksiyasını tapın. 

 

Y(s)/G(s)=W(s)  düsturundan  istifadə  edin.  y(t)  və  g(t)  çox  mürəkkəb 

olduqda MATLABda laplace – düz Laplas çevirməsindən istifadə etmək olar. 

Düsturdan göründüyü kimi Y(s)=L[y(t)] və G(s)=L[g(t)] təsvirlərini tapıb bir-

birinə  bölmək  lazımdır.  MATLABdan  istifadə  etdikdə  polinomların  deconv 

bölmə funksiyasından istifadə etmək lazımdır. 

 

Baxılan misal sadə olduğundan cədvəldən istifadə etmək olar: 

 

 

)

3

s

)(

2

s

(

s

18

s

7

3

s

1

2

s

2

s

3

)

t

(

y

L

)

s

(

Y





















; 

 

s

/

1

)

t

(

g

L

)

s

(

G





. 

6

s

5

s

18

s

7

)

s

(

G

)

s

(

Y

)

s

(

W

2











. 

 

 

Aşağıdakı hallarda ötürmə funksiyasını MATLABda tapın. 

1.

 

y=2-e

-3t

, g(t)=1(t) 

2.

 

y=5(1- e

-2t

), g(t)=1(t) 

3.

 

y=2+sin(2t), g(t)=3 e

-2t

 

 

244 

 

4.

 

y=sin(2t)+cos(2t), g(t)=



(t).  

     5.  Əvvəldə  verilmiş  4-cü  tərtibli  ötürmə  funksiyasını  ss(.)  funksiyasının 

köməyi ilə vəziyyət modelinə çevirin.  

     6. Aşağıdakı «giriş-çıxış» modellərini vəziyyət modellərinə gətirin. 

 

1. 

bu

y







. 

 

2. 

bu

y

y

a

y

a

y

2

2

1















. 

 

3. 

bu

y

a

y

a

y

2

1













. 

 

4. 

bu

y

y

)

4

(





. 

 

5. 

u

y

6

y

2

y

)

3

(













. 

 

6. 

).

t

(

u

3

)

t

(

y

12

)

t

(

y

7

)

t

(

y











