H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

 

 

391 

 

Əlavə 1

 

 

Elementar riyazi funksiyalar

 

(Elementary math functions)

  

 

 

Тригонометрик функсийалар (Trigonometric) 

 

1.  sin   



  Синус 

2.  sinh   



  Щиперболик синус 

3.  asin 



  Тярс синус (

arcsin

) 

4.  asinh 



  Щиперболик тярс синус  

5.  cos 



  Косинус 

6.  cosh 



  Щиперболик косинус  

7.  acos 



  Тярс синус ( arccos ) 

8.  acosh      



  Щиперболик тярс косинус  

9.  tan 



  Танэенс 

10.  tanh 



  Щиперболик танэенс 

11.  atan 



  Тярс танэенс (

arctg

) 

12.  atan2 



  4 рцблц 

arctg

 

13.  atanh   



  Щиперболик тярс танэенс 

14.  sec           



  Секанс 

15.  sech    



  Щиперболик секанс 

16.  asec         



  Тярс секанс 

17.  asech 



  Щиперболик тярс секанс 

18.  csc   



  Косеканс 

19.  csch 



  Щиперболик косеканс 

20.  acsc 



  Тярс косеканс 

21.  acsch 



  Щиперболик тярс косеканс 

22.  cot 



  Котанэенс 

23.  coth 



  Щиперболик котанэенс 

24.  acot   



  Тярс котангенс 

25.  acoth 



  Щиперболик тярс котанэенс       

 

 

392 

 

Експоненсиал функсийалар (Exponential) 

 

26.  еxp 



  Експоненсиал функсийа 

27.  log 



  Натурал логарифм 

28.  log10 



  Онлуг логарифм 

29.  log2   



  Икилик логарифм 

30.  pow2 



  2 ясасына эюря експонента 

31.  sqrt 



  Квадрат кюк 

32.  nextpow2 



  2 ясасына эюря ян йахын гцввят 

 

Комплекс ядядляр (Complex) 

 

33.  аbs 



  Ядядин мцтляг гиймяти 

34.  angle 



  Комплекс ядядин аргументи 

35.  complex 



  Щягиги вя хяйали щиссялярдян комплекс 

ядядин йарадылмасы 

36.  conj 



  Комплекс гошма 

37.  imag 



  Комплекс ядядин хяйали щиссяси 

38.  real 



  Комплекс ядядин щягиги щиссяси 

39.  unwrap 



  Фаза буъаьыны тясщищ етмя 

40.  isreal   



  Яэяр массив щягиг ядядлярдирся, доьрудур 

41.  cplxpair 



  Комплекс гошма ядядляр ъцтляринин 

чешидлянмяси 

 

Йуварлаглашдырма вя галыглар  (Rounding and remainder) 

 

42.  fix 



  Сыфыр тяряфя йуварлаглашдырма 

43.  floor 



  Мянфи сонсузлуьа тяряф йуварлаглашдырма 

44.  ceil   



  Мцсбят сонсузлуьа тяряф 

йуварлаглашдырма 

45.  round 



  Ян йахын там ядядя тяряф 

йуварлаглашдырма 

46.  mod 



  Бюлмядян сонракы ишаря иля галыг (Modulus 

or signed remainder after division) 

47.  rem 

 

Бюлмядян алынан галыг 

48.  sign 

 

Ишаря функсийасы (Signum) 

 

 

 

 

 

393 

 

Əlavə 2

 

1.Optimallaşdırma məsələlərinin Matlabda həlli  

       МАТЛАБда щялл олунан типик оптималлашдырма мясяляляри ашаьыдакылардыр: 

1.

 

Скалйар (бирюлчцлц) минималлашдырма. 

2.

 

Шяртсиз (мящдудиййятсиз) минималлашдырма. 

3.

 

Хятти програмлашдырма. 

4.

 

Квадратик програмлашдырма. 

5.

 

Мящдудиййятляр олдуьу щалда гейри-хятти минималлашдырма. 

6.

 

Мягсядя чатма. 

7.

 

Чохкритерили оптималлашдырма  

8.

 

Минимакс мясяляси. 

9.

 

Бинар програмлашдырма. 

Nümayiş  olunan  мисаллар  Matlabın  HELP  менйусунда  Оптимизатион 

Тоолбох  бюлмясиндя  yerləşir.  Оптималлашдырма  цсуллары  иля  чохсайлы 

ядябиййатда таныш олмаг олар, мясялян [1-11, 13,14]. 

 

 

1.1. Бирюлчцлц минималлашдырма .«Гызыл кясик» цсулу 

 

 

Рийази йазылыш: 

1

2

1

,

),

(

min

R

x

x

x

x

x

f

x







. 

 Щяллин МАТЛАБ функсийасы: фминбнд(



). 

     Мисал 1. Минималлашдырылан функсийа: 

f (x)=(х-3)

2

-1. 

     Мювге мящдудиййяти: 0

     Яввялжя ф(х) функсиасыны М-файлда тягдим етмяк лазымдыр:  

     фунcтион ф=фмин(х). 

     ф=(х-3).^2-1;  

sonra  МАТЛАБын  ямрляр  пянжярясиндян  дахил  едилян  fminbnd(



) 

функсийасындан истифадя олунур: >> [x,f]=fminbnd(‘fmin’,0,5). 

     M–файл  МАТЛАБын  alətlər  ponelindən  File/New/m-file  ямрляр 

менйусунун кюмяйиля чаьрылыр.  

     Шякил  1.1-дя  щяллин  МАТЛАБ  програмы,  нятиcя  х

opt 

=3  вя  функсийанын 

минимал гиймяти ф

min

 =-1 эюстярилмишдир. 

 

     

 

 

394 

 

     

 

Шякил 1 

 

 

1.2. Шяртсиз (мящдудиййятсиз) минималлашдырма. 

 

       «Симплекс» цсул 

 

 

     Рийази йазылыш:  

n

x

R

x

x

f



),

(

min

. 

МАТЛАБ функсийасы: фминunc(



) вя йа  фминcearch(



). 

     Мисал 2. Minimallaşdırılan funksiya imi Розенброкun yарьан функсийасы: 

 

ф(х)=100(х

2

 – х

1

)

2

+(1- х

1

)

2

.  

 

     Бу функсийанын минимал гиймяти ф =0 параметрляринин х

1

= х

2

=1 гиймятиндя 

юдянилир.  

Бу мягсядяля дя М -  файлдан истифадя етмяк лазымдыр: 

     Шякил  2-дя    х

0

=(0;0)    гиймяти  цчцн  щяллин  МАТЛАБпрограмы  вя  нятижя 

эюстярилмишдир. 

 

Шякил 2 

 

395 

 

     фминcearch(



)  функсийасындан  истифадя  етдикдя  оптимал  щялл  х=(1;1)  щягиги 

гиймятля  ейни  алыныр.  Функсийанын  минимал  гиймяти  ф

мин

=5.7010



10

-8

  сыфра  чох 

йахындыр.  

1.3. Хятти програмлашдырма. «Симплекс» цсул 

 

     Бу мясялядя мейар вя мящдудиййятляр системи хяттидир. 

     Рийази йазылыш: 

.

x

x

x

,

b

x

A

,

b

Ax

,

x

f

min

M

m

eq

eq

T

x









. 

х=( х

1

, х

2

…, х

н

)

Т

 ; А, 

xn

A

eq





 вя рхн юлчцлц сабит матрисляр; b, b

eq

 - 



 вя р 

–юлчцлц  векторлар, 



  вя  р  –  бярабярсизлик  вя  бярабярлик  шяклиндя  олан 

мящдудиййятлярин сайы; «ег» - бярабярлик демякдир.  

ф

 Т

=( ф

1

, ф

2

…, ф

н

) ,мейарын  ямсаллар вектору – шярт. 

 МАТЛАБ функсийасы: linproq(



). 

     Яэяр  критеринин  тяркибиндя  сабит  ф

0

  кямиййяти  иштирак  едирся,  ону  нязяря 

алмамаг  олар.  Яэяр  мясяля  мах  –ма  щялл  олунмалыдырса,  ф

0

  –ы  (-1)-я  вуруб 

мясяляни стандарт шякля, йяни мин-ма эятирмяк олар: мах(ф

Т

х)=мин(-ф

 Т

х). 

Мящдудиййят  шяртлярини стандарт  шякля  эятирмяк  цчцн  сабитляри  саьа  кечирмяк 

вя (-1)-я вурма ямялиййатындан истифадя етмяк лазымдыр.  

Бу мясялядя М – файлдан истифадя етмяк лазым эялмир.  

     Мисал 3. Минималлашдырылан функсийа: 

ф

 Т

х=-5х

1

-4х

2

-6х

3

, 

Мящдудиййятляр системи: х

1

-х

2

+х

3



20, 

                                         3х

1

+2х

2

+4х

3



42, 

                                         3х

1

+2х

2

=30, 

                                         х

1



0, х

2



0, 0



х

3



20. 

     Бу мясялянин дягиг щялли х=[0,15,3]. f

min

=-78. 

Бахылан щалда: f=[-5; -4; -6]; 

                          A=[1 -1 1; 3 2 4; b=[20; 42];  

                          A

eq

=[3 2 0]; b

eq

=30; 

                          x

m

=[0 0  0]; x

M

=[  ] – йяни верилмяйиб.  

                          [x, f]= linproq(f, A, b, А

eq

, b

eq

, x

m

, x

M

). 

 

     Шякил  3-дя  уйьун  МАТЛАБ  программы,  оптимал  щялл  х

оп

  вя 

мящдудиййятлярин гиймяти эюстярилмишдир.  

 

396 

 

 

Шякил 3 

 

     Оптимал щялл х=(0, 15,3)

Т

, ф

мин

=-78, мящдудиййятлярин гиймяти -12, 42 вя 

30  алынмышдыр.  Функсионал  мящдудиййятлярдян  биринин  гиймяти  42  ашаьы 

сярщяддя алынмышдыр. инф



 демякдир.  

 

1.4.Kвадратик програмлашдырма 

 

Бу  мясялядя  оптималлашдырма  мейары  квадратик,  мящдудиййятляр  системи  ися 

хятти шякилдя олур.  

Щялл  цсулу  кими  «Cяримя  функсийалары»  вя  йа  «Кун-Таккер»  цсулундан 

истифадя олунур. 

Мясялянин рийази йазылышы: 

.

x

x

x

,

b

x

A

,

b

Ax

),

x

f

Hx

x

2

1

(

min

M

m

eq

eq

T

T

x











. 

Бурада Щ – (нхн) юлчцлц матрис, ф

Т

 – н юлчцлц вектор – сятир.  

МАТЛАБ функсийасы: quadproq(



). 

     Мисал 4. Минималлашдырылан функсийа: 

 

397 

 

2

1

2

1

2

2

2

1

x

6

x

2

x

x

x

x

2

1

)

x

(

F











 . 

Мящдудиййятляр системи йалныз Ах 



 b бярабярсизлик шяклиндядир: 

         х

1

+х

2



2, 

                                         -х

1

+2х

2



2, 

                                         2х

1

+х

2



3, 

                                         х

1



0, х

2



0. 

Бурада:     

.

x

x

x

,

6

2

f

,

2

1

1

1

H

2

1



















































 

.

3

2

2

b

,

1

2

2

1

1

1

A















































 

 

Мясялянин  щяллинин  МАТЛАБ  программы  вя  нятижя  шякил  4-дя 

эюстярилмишдир. 

 

Шякил 4. 

      Програмда  олан  [  ]  вя  [  ]  ишаряляри  А

ег

  вя  b

ег

  ямсалларынын  мювжуд 

олмадыьыны эюстярир. 

     Оптимал  щялл  х=(0.6667,  1.3333)  критеринин  минимал  гиймяти  твал=-8.2222. 

Мящдудиййятлярин гиймяти: 2.0, 2.0, 2.6667. 

 

 

398 

 

5.Qeyri-xətti mящдудиййятляр олдуьу щалда гейри-хятти 

минималлашдырма 

 

     Бу мясялядя щям критерии, щям дя мящдудиййятляр гейри- хятти шякилдя ола 

биляр.  

     Мясялянин рийази йазылышы: 





























.

x

x

x

,

0

)

x

(

C

,

0

)

x

(

C

,

b

x

A

,

b

Ax

),

x

(

f

min

M

m

eq

eq

eq

x

. 

     Бурада C(х) вя C

ег

(х)  М – файлда йазылан гейри-хятти мящдудиййятлярдир. 

МАТЛАБ функсийасы: fmincon(



). 

     Мисал 5-1. Ашаьыдакы гейри-хятти оптималлашдырма мясялясиня бахаг: 

.

72

x

2

x

2

x

0

,

x

x

x

)

x

(

f

min

3

2

1

3

2

1

x













 

Ахтарылан параметрлярин башланьыж гиймяти х

0

=(10; 10; 10)

Т

. 

     Мящдудийятляри стандарт Ах 



 b шяклиня эятирмяк лазымдыр: 

-х

1

-2х

2

-2х

3



0, 

х

1

+2х

2

 +2х

3



72. 

x

m

=[0; 0;  0]; x

M

=[ 30; 20; 25 ]. 

Бу щалда   

.

72

0

b

,

2

2

1

2

2

1

A



































 

     Мясяляни  щялл  етмяк  цчцн  мягсяд  функсийасыны  тяйин  едян  М  –  файлдан 

истифадя  едилир.  Шякил  5-1-дя  МАТЛАБ  программы  вя  оптимал  щялл 

эюстярилмишдир.  

 

        

 

 

 

399 

 

 

Шякил 5-1 

 

     Програмда [ ] ишаряси мцвафиг  мящдудиййятлярин мювжуд олмасы  демякдир. 

Яэяр башланьыж гиймят мялум дейился, х

0

=[ ] ; дахил етмяк лазымдыр.  

     Мисал 5-2. Оптималлашдырма мясяляси: 

.

0

,

25

,

56

7

14

8

,

2

1000

)

(

min

3

2

1

2

3

2

2

2

1

3

2

1

3

1

2

1

2

3

2

2

2

1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

 

      Эюрцндцйц  кими,  Ах 



  б    вя    C(х) 



0  типли  мящдудиййятляр  мювcуддур. 

x

m

=[0;  0;  0];  x

M

=[  ]  –  йяни  йухары  щядд  мювжуд  дейил.  Мювжуд  олмайан 

мящдудиййятлярин  йериня  А=[  ];  б=[  ]  йазмаг  лазымдыр.  C=[  ]  М  –  файлда 

нязяря алыныр.  

     Гейри-хятти  мящдудиййятляр  (бурада  бир  сайда)  М  –  файла  йазылыр.  Kriteri 

@(х)[ 



] ananim funksiya кими МАТЛАБын ямрляр пянжярясиня йазылыр.  

Щяллин МАТЛАБпрограмы вя нятижя шякил 5-2-дя эюстярилмишдир. 

 

     

 

 

400 

 

 

Шякил 5-2 

 

 

Оптимал щялл х= [3.5121, 0.2170, 3.5522]

Т

, ф

мин

=961.7152. 

 

1.6. Mягсядячатма məsələsi 

 

     Бу мясяля илкин олараг чохмейарлы оптималлашдырма мясялялярини щялл етмяк 

цчцн  Эембиcки  тяряфиндян  тяклиф  едилмиш,  сонралар  щям  дя  мцстягил  мясяля 

кими тятбиг тапмышдыр.  







x

R

x

,

,

min

,







. 



























,

)

(

..........

..........

..........

,

)

(

,

)

(

*

*

2

2

2

*

1

1

1





F

w

x

F

F

w

x

F

F

w

x

F

m







 

.

,

0

)

(

,

0

,

,

M

m

eq

eq

eq

x

x

x

x

C

Cx

b

x

A

b

Ax













 

     Бурада,  Ф

и

(х)  –  щяр  щансы  бир  эюстярижинин  щесабланма  ифадяси; 

*

i

F

-  бу 

эюстярижилярин  верилмиш  «арзу  олунан»  гиймяти  –  мягсядляр  (эоалс); 



  -  бунлар 

арасындакы  деффекти  (фярги)  характеризя  едян  вя  минимал  гиймятi  ахтарылан 

параметр  –  оптималлашдырма  мейары;    w

i

  -  сабит  чяки  ямсаллары  (

*

i

F -ляря 

мцтянасиб вя йа башга тярздя сечиля биляр). 

 

401 

 

     Щялл  алгоритми  Ф

i

(х)  мягсяд  эюстярижиляринин  верилмиш 

*

i

F   гиймятиндян 

максимал чякилмиш фяргини минималлашдырмаьа çалышыр.  

     Исбат олунмушдур ки,  мящз 



 параметринин минимал гиймятиндя Ф

i

(х*)=

*

i

F

 

мягсядя наил олунур.  

     Бу  мясяляни  щялл  етмяк  цчцн  яввялдя  бахдыьымыз  гейри-хятти 

програмлашдырма цсулларындан истифадя етмяк олар. Лакин Оптимизатион Тоолбох 

пакетинин хцсуси фэоалаттаин (

