H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

 

 

 

 

 

FƏSİL 

4 

 

 

66 

 

XÜSUSİ HESABLAMALAR

 

_________________________________________________________ 

 

     

4.1. Həddlərin hesablanması

 

 

       Həddlərin hesablanması riyazi analizin vacib sahəsini təşkil edir. 

h ədədi f(x) funksiyasının a nöqtəsində o zaman həddi adlanir ki, x dəyişəni a 

nöqtəsinə  yaxınlaşdıqda  (x→a)  f(x)  funksiyası  h-a  hədsiz  yaxınlaşsın.  Bu 

proses aşağıdakı kimi işarə olunur: 

.

)

(

lim

h

x

f

a

x





 

      Elə funksiyalar mövcuddur ki, (məsələn, a nöqtəsində kəsilən) onların x=a 

nöqtəsinin özündə həddi yoxdur (yəni, ± ∞ (inf) ola bilər).Lakin soldan x→a-0 

və  sağdan  x→a+0  yaxınlaşmada  həddi  mövcuddur.Burada  sıfır  çox  kiçik 

kəmiyyət  kimi  başa  düşülür.  Birinci  halda  deyirlər  ki,  hədd  a  nöqtəsindən 

solda,  ikinci  halda  isə-sağda  mövcuddur.  Məsələn  f(x)=tg(x)  funksiyasının 

)

90

(

2

/









a

x

 nöqtəsində limiti yoxdur. Sol və sağ həddlər bərabər olarsa, 

onda x=a nöqtəsində hədd mövcuddur. 

      Kompyüter  cəbrinin  əməliyyatları  0/0,  0/∞,  ∞/0,  ∞/∞tipli  qeyri-

müəyyənliklərir halında belə funksiyanın həddini tapmağa imkan verir. 

      Matlabda həddlər 

limit(.)funksiyasının kəməyi ilə hesablanır. Sintaksis 

      

limit(f,x,a): 

     -f-həddi təyin olunan funksiya; 

     -x-arqument; 

     -a-x-in hədd qiymətidir. 

       limit(f,x,a,’left’)-soldan yaxınlaşma həddi; 

      

limit(f,x,a,’right’)-sağdan yaxınlaşma həddi. 

      

Misal 4.1.















x

x

x

)

sin(

lim

0

tapaq. 

      

 

      

Misal 4.2.

 

n

n

n

x











 





)

1

lim

təyin etməli. 

 

67 

 

     

 

 

      Cavab f

∞

=e

x

  artan eksponentadır. 

      Şəkil  4.1-də  ilkin  funksiyanın  n=10,  n=100  qiymətlərində  və  hədd 

funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. 

 

Şəkil 4.1 

 

      Göründüyü kimi, n artdıqca ilkin funksiyanın qrafiki özünün hədd əyrisinə 

yaxınlaşır. 

       

Misal  4.3.

  y=tg(x)  funksiyasının  pi/2  (90

o

)  nöqtəsində  sol  və  sağ  hədd 

qiymətlərini tapaq. 

 

     

 

 

 

68 

 

     

4.2. Funksiyanın sıraya ayrılması

 

 

Mürəkkəb  funksiyalarin  aproksimasiyası  (yaxınlaşma)  məsələlərində  bu 

funksiyların tədqiqat və hesablama baxımından daha sadə olan sıraya ayrılması 

vacib  yer  tutur.  Bundan  başqa,  qeyri-xətti  funksiyanı  xəttiləşdirdikdə  onu 

sıraya ayırıb xətti hissəni götürürlər. 

 

4.2.1. Teylor sırası

 

 

y=f(x)  funksiyasını  üstlü  sıraya  ayırmaq  üçün  Teylor  sırasından  istifadə 

olunur: 

.

)

(

!

)

(

.

...

)

(

!

)

(

...

)

(

!

2

)

(

)

(

!

1

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

2

n

n

n

n

n

a

x

n

a

f

a

x

n

a

f

a

x

a

f

a

x

a

f

a

f

x

f

































 

     Burada a- kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi x=a nöqtəsidir. 

      







)

(

),...,

(

),

(

),

(

)

(

a

f

a

f

a

f

a

f

n

funksiya  və  onun  törəmələrinin    x=a 

nöqtəsindəki qiymətidir (sıranın əmsalları).  

      Aydındır  ki,  əmsalları  hesablaya  bilmık  üçün  f(x)  funksiyasının  x=a 

nöqtəsində  (kiçik  ətrafında)  n-də  daxil  olmaqla  bütün  tırtib  törəmətəri 

mövcud olmalıdır.     

     x=a olarsa sıra Makleron sırası adlanır:      

 

.

...

!

)

0

(

...

!

2

)

0

(

!

1

)

0

(

)

0

(

)

(

)

(

2

















n

n

x

n

f

x

f

x

f

f

x

f

 

 

Matlab  sistemində  funksiyanın  Teylor  sırasına  ayrılması  taylor(f,x,x0,n) 

funksiyasının köməyi ilə həyata keçirilir. 

Burada: 

 

f - sıraya ayrılan funksiya; 

 

x- arqunent; 

        

x

0

=a - kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi nöqtə; 

         

n-həddlərin sayı. 

       

Misal  4.4.

  y=e

x

,  y=sin(x)  funksiyalarını  x=0  nöqtəsinin  ətrafında  Teylor 

sırasına ayırıb n=5 həddini ğötürün. 

 

 

69 

 

 

       x=0  nöqtəsində  f=sin(x)  funksiyasının  cüt  tərtibli  törəmələri  sıfra  bərabər 

olduğundan proqram yalnız iki hədd vermişdir. 

     Misal  4.5.

x

x

f

sin

5

4

1

)

(





funksiyasını  x

0

=2  nöqtəsinin  ətrafında  sıraya 

ayırıb  n=5  həddini  götürməli.  Alinmış  funksiyanın  qrafikini  qurub  ilkin  f(x) 

funksiyasının qrafiki ilə müqayisə etməli. 

 

     

 

 

Şəkil 4.2. 

 

     Görundüyü  kimi,  n=5  üçün  orta  x=1  nöqtəsinin  [1;3]  ətrafında 

aproksimasiya (yaxınlaşma) kifayyət qədər dəq aparılmışdır.  

   

4.2.2. Sıranın cəminin hesablanması 

 

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

x

Teylor aproksim. ve ilkin funksiya

 

 

Funksiya

Teylor

 

70 

 

 

      

Riyazi analizdə bir-şox hallarda arqumentin tam x=k qiymətlərində sıranın 

cəmini hesablamaq lazım gəlir: 

.

)

(







b

a

k

k

f

F

 

      Arqumentin  yuxarı  hədd  qiymətindən      asılı  olaraq  cəm 

sonlu  b<∞  və  ya 

sonsuz b=∞ cəm adlanır. 

      Bu tip cəmi analitik (simvol) hesablamaq ücün 

symsum əmrindən istifadə 

olunur: 



 

symsum(f)-  verilmiş  dəyişənə  nəzərən  sonsuz  sıranın  cəminin 

ifadəsini verir; 



 

symsum(f,x)- sonsuz cəmin x dəyişəninə görə ifadəsini verirr; 



 

symsum(f,a,b)  və  symsum(f,k,a,b)-  a-dan  b-yə  qədər  sonlu  cəmin 

qiymətini verir. 

      Aşağıda cəmin hesablanmasına aid misallar verilmişdir. 

      

Misal 4.5

.









1

4

1

k

k

s

 sırasının cəmini hesablayaq. 

     

 

         

Misal 4.6. 

Funksiya

.

!

1

0









k

k

s

 Matlabda faktorial 

)

1

!

0

(

,

...

2

1

!











k

k

sym(.!) əmri ilə yerinə yetirilir. 

     

 

     Cavab e

1

=e. 

 

     

 

 

       

Misal 4.7. 

 

71 

 

      

 

          

 

     Matlabda 

Psi() 

funksiyası

.

)

(

/

)

(

)

(

х

Г

dx

x

dГ

x

Psi



Burada 

Г(x)-qamma 

funksiyadır. 

 

     

 

     Misal 4.8. 

Elə hallar mümkündür ki, toplanan həddlər təkcə k indeksindən 

deyil, hər-hansı simvol, məsələn, x dəyişənindən də asılı olur. 

  sin(x) funksiyasının siraya ayrılışı: 

.

)!

1

2

(

)

1

(

1

2

0















k

x

s

k

k

k

 

     Bu cəmi hesablayaq. 

 

 

 

     Gözlənildiyi kimi, cəm ilkin sin(x) funksiyasına bərabər olmuşdur. 

      4.2.3. Furye sırası

 

      

 

72 

 

 Furye sırasının əsas  üstünlüyü ondan ibarətdir ki,  o kəsiən və qeyri-hamar 

funksiyaları  hamar  funksiyalar  ilə  yüksək  dəqiqliklə  aproksimasiya 

(yaxınlaşma) etməyə imkan verir.  Kəsilən funksiyaya misal olaraq düzbucaqlı 

inpulslar  ardıcıllığını,  qeyri-hamar  funksiyaya  isə  üçbucaqlı  impulslar 

ardıcıllığını göstərmək olar. 

Furye   sırası  dövrü   (periodik)  siqnallara tətbiq olunur.   Belə siqnalların 

qiymətləri T periodundan bir təkrar olunur: 

 

   

              

),

kT

t

(

x

)

t

(

x





   

...

,

2

,

1

,

0

k



 

 

      Periodik  funksiyalara  misal  olaraq 

),

t

sin(



 

),

t

cos(



  düzbucaqlı  və 

mişarvari  impulslar  ardıcıllığını  göstərmək  olar.  Birinci  iki  siqnalın  periodu 

T=2π/ω, s. ω, rad/s – dövrü sürətdir (əslində bucaq sürəti). 

     Periodik  olmayan  siqnallara  furye  sırasını  T→



  həddinə  keçməklə  tətbiq 

etmək  mümkündür.  Bu  halda  Furye  sırası  Furye  inteqralına  çevrilir.  Bu 

inteqral Furye çevirməsi adlanır. 

     Furye sırasını tətbiq edə bilmək üçün x(t) siqnalı aşağıdakı Dirixle şərtlərini 

ödəməlidir: 

a)

 

ikinci tərtib (sonsuzluğa gedən) sıçrayışlar olmalı deyil. 

b)

 

birinci tərtib (sonlu) sıçrayışların sayı məhduddur. 

c) ekstremumların sayı məhduddur. 

Bazis funksiyalarından asılı olaraq müxtəlif formalı Furye sıralarından 

istifadə olunur. 

1.1.Sinus-cosinus forması: 

.

))

t

k

sin(

b

)

t

k

cos(

a

(

2

a

)

t

(

x

1

k

n

n

0

F

















                 (4.1) 

       Burada 

T

/

2







- dövri tezlik, T – perioddur. 

       İfadə  (4.1)-ə  daxil  olan  əmsallar  aşağıdakı  düstürların  köməyi  ilə 

hesablanır: 

,

dt

)

t

k

cos(

)

t

(

x

T

2

a

t

T

t

k









    

...

,

2

,

1

k



                  (4.2) 









t

T

t

k

,

dt

)

t

k

sin(

)

t

(

x

T

2

b

   

                                           







T

T

t

0

.

dt

)

t

(

x

T

2

a

 

 

73 

 

       Əgər 

)

t

(

x

siqnalı 





t

,

T

t



 intervalında tək funksiya olarsa 

,

0

a

,

0

a

k

0





cüt funksiya olduqda isə 

...).

,

2

,

1

k

(

0

b

k





 

1.2. Həqiqi forma: 

















1

k

k

k

0

F

)

t

k

cos(

A

2

a

)

t

(

x

.                     (4.3) 

      1.3.Kompleks  forma.  Bu  forma  (4.3)  ifadəsində  Eyler  düsturundan 

isitifadə edərək 

)

e

e

(

2

1

x

cos

jx

jx







 

əvəzləməsini etməklə alınır: 

t

jk

k

k

F

e

C

t

x













)

(

  ,                                       (4.4)      

                                                                                                                                                                          











t

T

t

t

jk

k

dt

e

)

t

(

x

T

1

C

.                                   (4.5)           

 

     Misal 4.5.

 Şəkil 4.2-də göstərilən düzbucaqlı impulslar ardıcıllığını 

 

.

2

t

,

t

0

eger 

eger

a

a

)

t

(

x

























 

 

Furye sırasına ayıraq. 

 

 

Şəkil 4.2 

 

          Bu halda period 

.

s

/

rad

1

.,

s

2

T









 

     Sıranın 

əmsallarını  təyin  edək. 

)

(t

x

tək  funksiya  olduğundan 

...).

,

2

,

1

k

(

0

a

,

0

a

k

0







 Düstur (4.2)-də 

T

t



 qəbul etsək alarıq: 

 

x 

T 

 

0 

 

 

a 

-a 

t 

 

74 

 



















































0

2

k

1

)

k

cos(

k

a

2

dt

)

kt

sin(

a

dt

)

kt

sin(

a

2

2

b

 

























.

tek

,

cut

k

k

eger

eger

k

a

4

0

)

1

(

1

k

a

2

k

 

 

      Beləliklə, baxılan impulslar ardıcıllığı üçün Furye sırası yalnız sinusun tək 

harmonikalarının sonsuz cəmindən ibarətdir: 

 



















..

)

t

5

sin(

5

1

)

t

3

sin(

3

1

)

t

sin(

a

4

)

t

(

x

F

. 

 

      Şəkil 

4.3-də 

5

,

3

,

1

k

,

1

a





halında  ilkin 

)

t

(

x

 

siqnalının  və 

aproksimasiyaedici 

)

t

(

x

F

 

funksiyasının  (qırıq-qırıq  xətt)  qrafikləri 

göstərilmişdir. 

      

 

 

 

 Şəkil 4.3 

   

Qənaətbəxş dəqiqlik alamaq üçün sıranın üç həddi kəfayyət etmişdir. 

4.2.4.Pade sırası

 

 

Pade  sırası  adətən  avtomatik  idarəetmədı  yüksək  tərtibli  ötürmə 

funksiyalarını  və  e 

–τs

  gecikmə  operatorunu  (ümumiyyətlə  üstlu  funksiyaları 

 

75 

 

approksimasiya (yaxınlaşma) etmək üçün  istifadə olunur. Gecikmə operatoru 

üçün bu sıra: 

.

)

(

...

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

1

(

...

)

(

)

(

)

(

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

n

n

n

n

n

s

s

P

s

P

s

P

s

P

s

P

s

P

s

P

s

P

e















































 

Burada P

i 

 əmsalları n-dən asılıdır. 

Kəsrin  surəti  və  məxrəci  eyni  tərtibli  götürüldükdə  pade  (

